Гомотопические группы сфер

Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий, области алгебраической топологии. Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами. Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна.

Расслоение Хопфа — пример отображения из трёхмерной сферы в двумерную, не стягиваемого в точку. Такое отображение является образующей гомотопической группы

\pi _{3}(S^{2})\simeq \mathbb {Z}

Их нахождение было одним из наиболее важных направлений развития топологии и математики в целом в 1950—60-х годах, вплоть до создания обобщённых теорий когомологий.[1] Причиной этого было как то, что гомотопические группы сфер являются базовыми топологическими инвариантами, понимание которых приводит к лучшему пониманию топологических пространств в целом, так и наличие большого числа сложных закономерностей в их структуре. Результатом стало как нахождение некоторых общих закономерностей, таких как стабильные гомотопические группы сфер и J-гомоморфизм, так и вычисление групп для малых значений параметров.

Неформальное введение

Многомерная сфера $S^{n}$ размерности $n$ — это топологическое пространство, которое можно представлять как геометрическое место точек $(n+1)$ -мерного евклидова пространства, удалённых от начала координат на расстояние 1. В частности, $S^{1}$ — это окружность, а $S^{2}$ — обычная двумерная сфера.

Если $X$ — любое топологическое пространство с отмеченной точкой $x$ , то его $i$ -тая гомотопическая группа $\pi _{i}(X)$ — это множество отображений из $S^{i}$ в $X$ , переводящих $1$ в $x$ , рассмотренное с точностью до гомотопий, то есть непрерывных шевелений, которые к тому же должны сохранять отмеченную точку. В частности, $\pi _{1}(X)$ — это фундаментальная группа, то есть группа замкнутых путей в топологическом пространстве с операцией композиции. В многомерном случае это множество также можно снабдить структурой группы, при этом, в отличие от фундаментальной группы, при $i\geqslant 2$ группа $\pi _{i}(X)$ будет коммутативной.

Любое отображение из сферы меньшей размерности в сферу большой размерности можно стянуть в точку, поэтому группы $\pi _{i}(S^{n})=0$ при $i<n$ . Однако уже фундаментальная группа окружности $\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$ является бесконечной циклической группой. Её элементы, то есть отображения из окружности $S^{1}$ в себя с точностью до гомотопии, однозначно задаются числом оборотов образа окружности вокруг её центра, и при композиции путей числа оборотов складываются. Аналогично одномерному случаю, гомотопическая группа отображений из $n$ -мерной сферы в себя $\pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z}$ является бесконечной цикличной. Тем не менее, устройство группы $\pi _{3}(S^{2})$ интуитивно неочевидно: она порождена расслоением Хопфа.

Малые значения

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅	π₁₆
S¹	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	Z	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆
S³	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆
S⁴	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z×Z₁₂	Z₂²	Z₂²	Z₂₄×Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂³	Z₁₂₀×Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂⁵	Z₂⁶
S⁵	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	Z₂	Z₂	Z₂	Z₃₀	Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂	Z₅₀₄xZ₂²
S⁶	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	Z	Z₂	Z₆₀	Z₂₄×Z₂	Z₂³	Z₇₂xZ₂
S⁷	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₁₂₀	Z₂³	Z₂⁴
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z×Z₁₂₀	Z₂⁴

Примечания

D.B. Fuks. Homotopy groups of the spheres (англ.). Encyclopedia of Mathematics. Дата обращения: 5 ноября 2017.

Литература

Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.
Hatcher, Allen. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-79540-1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] D.B. Fuks. Homotopy groups of the spheres (англ.). Encyclopedia of Mathematics. Дата обращения: 5 ноября 2017.