Порядок точки относительно кривой

В дифференциальной геометрии параметрические уравнения обычно предполагаются дифференцируемыми (гладкими) (или, по крайней мере, кусочно дифференцируемыми). В этом случае полярная координата θ связана с декартовыми координатами x и y уравнением:

${\displaystyle d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)}$ где ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

По теореме Ньютона-Лейбница суммарное изменение θ равно интегралу dθ. Таким образом, индекс точки относительно гладкой кривой выражается через криволинейный интеграл:

индекс точки ${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,{\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx.}$

В комплексном анализе индекс точки относительно замкнутой кривой C на комплексной плоскости можно выразить в терминах комплексных координат z = x + iy. В частности, если мы запишем z = re^iθ, то

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

а потому

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\,d\theta .}$

Интегральный вклад ln(r) равен нулю, так что интеграл dz ⁄ z равен i, умноженному на суммарное изменение θ. Таким образом,

индекс точки ${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dz}{z}}.}$

Обобщая, индекс любого комплексного числа a задаётся формулой[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dz}{z-a}}.}$

Это является специальным случаем известной интегральной формулы Коши. Индексы точек играют очень важную роль в комплексном анализе (смотрите утверждение основной теоремы о вычетах).

В топологии индекс точки является альтернативным понятием для степени отображения[3][4][5]. В физике индексы точек часто называют топологическими зарядами. В обоих случаях используется та же самая концепция.

Приведённый выше пример кривой, закручивающейся вокруг точки, имеет простую топологическую интерпретацию. Дополнением точки на плоскости является гомотопическим эквивалентом окружности, так что отображения окружности в себя — это всё что следует рассматривать. Можно показать, что любое такое отображение можно непрерывно деформировать в одно из стандартных отображений ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$, где произведение на окружности определено путём отождествления окружности с единичной комплексной окружностью. Множество классов гомотопии отображения окружности в топологическое пространство образует группу, которая называется первой гомотопической группой или фундаментальной группой пространства. Фундаментальная группа окружности — это группа целых чисел Z[6]. Индекс точки относительно комплексной кривой — это просто класс гомотопий.

Отображение трёхмерной сферы в себя также классифицируется целым числом, которое называют индексом точки или, иногда, числом Понтрягина.

Границы правильного девятиугольника {9/4} обходят центр 4 раза, так что он имеет плотность 4

В многоугольниках индекс точки выступает в виде плотности многоугольника. Для выпуклых многоугольников, а также для простых многоугольников (самонепересекающихся), плотность равна 1 по теореме Жордана. В то время как правильный звёздчатый многоугольник {p/q} имеет плотность q.