Число Понтрягина

Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и ${\displaystyle \omega =\{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\}}$ ― разбиение числа ${\displaystyle n}$, то есть набор натуральных чисел, таких что ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$.

Рациональное число

${\displaystyle P_{\omega }=p_{k_{1}}\cup p_{k_{2}}\cup \cdots \cup p_{k_{m}}([M])}$

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению ${\displaystyle \omega }$, здесь ${\displaystyle p_{i}}$ обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.

• Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
  • Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
• Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений, определенной на ${\displaystyle H^{n/2}(M)}$, ${\displaystyle n=dimM}$.
• Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс (${\displaystyle {\hat {A}}}$-род) замкнутого спинорного многообразия ${\displaystyle M}$, то есть индекс оператора Дирака на ${\displaystyle M}$.