Принцип аргумента

Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Контур C изображён чёрным, нули f — синим, а полюса — красным. В данном случае

\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(4-5)

.

Теорема. Если функция $f$ мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области $G$ с гладкой границей $\partial G$ и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула:

N-P={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\partial G}{df \over f}={1 \over 2\pi }\Delta _{\partial G}\,\operatorname {arg} \,f

,

где $N$ и $P$ — количества соответственно нулей и полюсов функции $f$ в $G$ , учтённых каждый с его кратностью, а $\Delta _{\partial G}\,\operatorname {arg} \,f$ — изменение аргумента $f(z)$ при обходе вдоль контура области $G$ (ориентация контура стандартная).

Доказательство

Пусть $f(z)=(z-a)^{k}g(z)$ , причём функция $g$ голоморфна в точке $a$ и не равна в ней нулю (точка $a$ из области $G$ ). Тогда

{df \over f}=k{dz \over z-a}+{dg \over g}

.

Так как 1-форма ${\frac {dg}{g}}$ голоморфна в точке $a$ , её вычет в этой точке равен нулю, и вычет формы ${\frac {df}{f}}$ в точке $a$ равен $k$ , то есть он равен порядку нуля (или минус порядку полюса) функции $f$ в этой точке.

Используя эти соображения и основную теорему о вычетах, интеграл в формулировке теоремы можно вычислить явно:

{1 \over 2\pi i}\int \limits _{\partial G}{df \over f}=\sum \limits _{a}\operatorname {res} _{a}{df \over f}=N-P

.

Таким образом, первая половина формулы доказана.

Чтобы доказать вторую половину формулы, проведём простой разрез $\Gamma$ внутри области $G$ , проходящий через все нули и полюса функции $f$ , и выходящий на границу области $G$ в некоторой точке $z_{0}$ . Область с разрезом $G$ \ $\Gamma$ теперь односвязна, и замкнутая 1-форма ${\frac {df}{f}}$ не имеет особенностей внутри неё и на контуре $\partial G$ , и значит точна в ${\overline {G}}\setminus \Gamma$ , то есть допускает там первообразную $F(z)$ . Функция $F(z)$ будет первообразной для формы ${\frac {df}{f}}$ также и вдоль контура области $G$ с выколотой точкой $z_{0}$ . Поэтому можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

\int \limits _{\partial G}{df \over f}=\int \limits _{\partial G\setminus \{z_{0}\}}dF=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)

.

Так как $dF={\frac {df}{f}}=d(\ln f)$ , то функция $F(z)$ с точностью до константы совпадает с некоторой однозначной ветвью логарифма функции $f$ , и поэтому справедливо равенство:

F(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)+{\rm {const}}

.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона-Лейбница, окончательно получаем:

\int \limits _{\partial G}\,{\frac {df}{f}}=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)=i(\arg f(z_{0}-0)-\arg f(z_{0}+0))=i\Delta _{\partial G}\arg f

.

См. также

Теорема Абеля — Плана
Аргумент

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.