Теорема Жордана

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета).

Формулировка

Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая разбивает плоскость на две связные компоненты и является их общей границей. [1]

Замечания

Из двух связных компонент одна (внутренность ) — ограниченная; характеризуется тем, что степень относительно любой точки в равна ; другая (внешность ) — неограниченная, и степень относительно любой точки в равна нулю. По теореме Шёнфлиса, первая всегда гомеоморфна диску. [1]

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Часто утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году.[2] Однако Томас Хейлс пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае, когда замкнутая кривая является многоугольником.[3]

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

  • Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт[4].
  • Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем. [5]

Вариации и обобщения

  • Теорема Жордана обобщается по размерности:
Любое -мерное подмногообразие в , гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.
При это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего -мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.[1]
  • Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
    • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
    • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

Примечания

  1. И. М. Виноградов. Жордана теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  2. См., например, Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.
  3. Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. Vol. 10, no. 23. P. 45—60.
  4. А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана // УМН. — 1950. Т. 5, № 5(39). С. 173—176.
  5. P. H. Doyle. “Plane separation”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.