Теорема Жордана

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета).

Формулировка

Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая $\gamma$ разбивает плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ на две связные компоненты и является их общей границей. [1]

Замечания

Из двух связных компонент одна $B$ (внутренность $\gamma$ ) — ограниченная; характеризуется тем, что степень $\gamma$ относительно любой точки в $B$ равна $\pm 1$ ; другая $S$ (внешность $\gamma$ ) — неограниченная, и степень $\gamma$ относительно любой точки в $S$ равна нулю. По теореме Шёнфлиса, первая всегда гомеоморфна диску. [1]

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Часто утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году.[2] Однако Томас Хейлс пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае, когда замкнутая кривая является многоугольником.[3]

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт[4].
Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем. [5]

Вариации и обобщения

Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое

(n-1)

-мерное подмногообразие в

\mathbb {R} ^{n}

, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При

n=3

это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего

n

-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.[1]

Более того, любое компактное связное $(n-1)$ -мерное подмногообразие в $\mathbb {R} ^{n}$ разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.

Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
- В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
- Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

Жорданова кривая
Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.

Примечания

И. М. Виноградов. Жордана теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
См., например, Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.
Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. — Vol. 10, no. 23. — P. 45—60.
А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана // УМН. — 1950. — Т. 5, № 5(39). — С. 173—176.
P. H. Doyle. “Plane separation”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.

Литература

Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: изд-во МЦНМО, 2003.
Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176.
Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М.: 1964.
Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[autogenerated1-1] И. М. Виноградов. Жордана теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.

[2] См., например, Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.

[3] Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. — Vol. 10, no. 23. — P. 45—60.

[4] А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана // УМН. — 1950. — Т. 5, № 5(39). — С. 173—176.

[5] P. H. Doyle. “Plane separation”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.