Множество с отмеченной точкой

Множество с отмеченной точкой — множество ${\displaystyle X}$ с выделенной точкой ${\displaystyle x_{0}\in X}$. Отображения между множествами с отмеченной точкой — это функции, которые переводят одну отмеченную точку в другую, то есть отображения ${\displaystyle f:X\to Y}$, такие что ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$, иногда используется такое обозначение:

${\displaystyle f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$.

Множества с отмеченной точкой можно определять как простую алгебраическую структуру. В терминах универсальной алгебры, это структуры с единственной нульарной операцией, которая выбирает отмеченную точку. Таким образом, алгебраические структуры с нульарными операциями являются множествами с отмеченной точкой, например, группа — множество с отмеченной точкой — нейтральным элементом, а гомоморфизмы групп сохраняют нейтральный элемент.

Класс множеств с отмеченной точкой и отображений, сохраняющих эту точку, образует категорию, в которой имеется нулевой объект — синглетон с выделенной точкой ${\displaystyle (\{a\},a)}$.