Параллелизуемое многообразие

Параллелизуемое многообразие — многообразие $M$ размерности $n$ , допускающее поле реперов $e=(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ , то есть $n$ линейно независимых в каждой точке векторных полей $e_{i}$ .

Поле $e$ задает изоморфизм касательного расслоения $TM\to M$ на тривиальное расслоение $\mathbb {R} ^{n}\times M\to M$ , сопоставляющий касательному вектору $v\in TM$ его координаты относительно репера $e$ и его начало. Поэтому параллелизуемое многообразие можно также определить как многообразие, имеющее тривиальное касательное расслоение.

Примеры

открытые подмногообразия евклидова пространства,
все трёхмерные ориентируемые многообразия,
произвольные группы Ли,
многообразие реперов произвольного многообразия.
Сферы $S^{n}$ являются параллелизуемыми только при $n=1,3,7$ .

Свойства

Для параллелизуемости 4-мерного многообразия необходимо и достаточно обращение в нуль его второго характеристического класса Штифеля — Уитни.
В общем случае равенство нулю всех характеристических классов Штифеля — Уитни, Чжэня и Понтрягина является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы многообразие $M$ было параллелизуемо.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.