Правильная карта (теория графов)

Правильная карта — это симметричное замощение замкнутой поверхности. Более точно, правильная карта — это разложение двумерного многообразия (такого как сфера, тор или вещественная проективная плоскость) на топологические диски, так что каждый флаг (инцидентная тройка вершина-ребро-грань) может быть переведён в любой другой флаг преобразованием симметрии разложения. Правильные карты являются в некотором смысле топологическим обобщением правильных многогранников. Теория карт и их классификация связана с теориями римановых поверхностей, геометрии Лобачевского и теории Галуа. Правильные карты классифицируются по их роду ориентируемости соответствующей поверхности, по основному графу или автоморфизму группы.

Шестиугольный осоэдр, правильная карта на сфере с двумя вершинами, шестью рёбрами, шестью гранями и 24 флагами.

Обзор

Правильные карты обычно определяются и изучаются тремя способами: топологически, с точки зрения теории групп и теории графов.

Топологический подход

С точки зрения топологии карта является 2-ячейным разложением замкнутого компактного 2-многообразия.

Род g карты M задаётся соотношением Эйлера , что равно , если карта ориентируема, и , если карта неориентируема. Критическим обстоятельством является факт, что имеется конечное (ненулевое) число правильных карт для любого ориентируемого рода, за исключением тора.

Подход теории групп

С точки зрения теории групп перестановки представления правильной карты M являются транзитивной группой перестановок C на множестве флагов, порождённой свободными инволюциями с тремя фиксированными точками , удовлетворяющими условию . В этом определении гранями являются орбиты , рёбрами являются орбиты , а вершинами являются орбиты . Более абстрактно, автоморфизм группы любой правильной карты является невырожденным гомоморфным образом группы треугольника <2,m,n>.

Подход теории графов

С точки зрения теории графов карта есть кубический граф с рёбрами, выкрашенными в синий, жёлтый и красный цвета так, что связен, каждая вершина инцидентна с рёбрами каждого цвета, а циклы рёбер, не окрашенных в жёлтый цвет, имеют длину 4. Заметим, что является плоским графом или закодированной графом картой (англ. graph-encoded map, GEM) карты, определёнными на множестве флагов в качестве вершин и не являющимися остовом G=(V,E) карты. В общем случае .

Карта M правильна тогда и только тогда, когда Aut(M) действует регулярно на флаги. Aut(M) правильной карты транзитивна на вершинах, рёбрах и гранях карты M. Говорят, что карта M зеркально симметрична в том и только в том случае, когда Aut(M) правильна и содержит автоморфизм , который фиксирует как вершиныv, так и грани f, но обращает направление рёбер. Говорят, что правильная карта, не являющаяся зеркально симметричной, хиральна.

Примеры

Полукуб, правильная карта.
  • Большой додекаэдр является правильной картой с пятиугольными гранями на ориентируемой поверхности рода 4.
  • Полукуб является правильной картой типа {4,3} на проективной плоскости.
  • Полудодекаэдр является правильной картой, порождённой пятиугольным вложением графа Петерсена в проективную плоскость.
  • p-Осоэдр является правильной картой типа {2,p}. Заметим, что осоэдры в этом смысле не являются абстрактными многогранниками. В частности, они не удовлетворяют свойству алмаза (англ. diamond property).
  • Карта Дика является правильной картой из 12 октаэдров на поверхности рода 3. Лежащий в её основе граф Дика, может также образовать правильную карту из 16 шестиугольников на торе.

В таблице ниже приведён полный список правильных карт на поверхностях с положительной эйлеровой характеристикой, χ — сфере и проективной плоскости[1].

χgШлефлиВершинРёберГранейГруппаПорядокГрафПримечания
20{p,2}pp2C2 × Dihp4pCpДиэдр
20{2,p}2ppC2 × Dihp4pp-кратный K2Осоэдр
20{3,3}464S424K4Тетраэдр
20{4,3}8126C2 × S448K4 × K2Куб
20{3,4}6128C2 × S448K2,2,2Октаэдр
20{5,3}203012C2 × A5120Додекаэдр
20{3,5}123020C2 × A5120K6 × K2Икосаэдр
1n1{2p,2}/2pp1Dih2p4pCpПолудиэдр[2]
1n1{2,2p}/22ppDih2p4pp-кратный K2Полуосоэдр[2]
1n1{4,3}/2463S424K4Полукуб
1n1{3,4}/2364S4242-кратный K3Полуоктаэдр
1n1{5,3}/210156A560Граф ПетерсенаПолудодекаэдр
1n1{3,5}/261510A560K6Полуикосаэдр

Изображения ниже показывают три из 20 правильных карт в тройном торе с их символами Шлефли.

Тороидальные многогранники

Примеры в виде мозаики

{4,4}1,0
(v:1, e:2, f:1)

{4,4}1,1
(v:2, e:4, f:2)

{4,4}2,0
(v:4, e:8, f:4)

{4,4}2,1
(v:5, e:10, f:5)

{4,4}2,2
(v:8, e:16, f:8)

{3,6}1,0
(v:1, e:3, f:2)

{3,6}1,1
(v:3, e:9, f:6)

{3,6}2,0
(v:4, e:8, f:8)

{3,6}2,1
(v:7, e:21, f:14)

{3,6}2,2
(v:12, e:36, f:24)

{6,3}1,0
(v:2, e:3, f:1)

{6,3}1,1
(v:6, e:9, f:3)

{6,3}2,0
(v:8, e:8, f:4)

{6,3}2,1
(v:14, e:21, f:7)

{6,3}2,2
(v:24, e:36, f:12)

Правильные карты существуют как тороидальные многогранники в виде конечных порций евклидовых мозаик, завёрнутых в поверхность дуоцилиндра как плоского тора. Они помечены как {4,4}b,c, когда они связаны с квадратной мозаикой {4,4}[3], как , когда они связаны с треугольной мозаикой {3,6}, и как {6,3}b,c, когда связаны с шестиугольной мозаикой {6,3}. Индексы b и c являются целыми числами [4]. Имеется 2 специальных случая (b,0) и (b,b) с зеркальной симметрией, хотя общие случаи существуют в хиральных парах (b,c) и (c,b).

Правильные карты вида {4,4}m,0 могут быть представлены как конечные правильные косые многогранники {4,4|m}, понимаемые как квадратные грани m×m дуопризмы в размерности 4.

Ниже приведён пример {4,4}8,0, отображённый из плоского листа в виде шахматной доски в цилиндр, а затем в тор. Проекция из цилиндра в тор искажает геометрию в трёхмерном пространстве, но может быть осуществлена без искажения в четырёхмерном.

Например, карту {6,4}3 можно рассматривать как {6,4}4,0.
Правильные карты с нулевой эйлеровой характеристикой[5]
χgШлефлиВершинРёберГранейГруппаПорядокПримечания
01{4,4}b,0
n=b2
n2nn[4,4](b,0)8nПлоский тороидальный многогранник
То же, что и {4,4 | b}
01{4,4}b,b
n=2b2
n2nn[4,4](b,b)8nПлоский тороидальный многогранник
То же, что и полноусечённый {4,4 | b}
01{4,4}b,c
n=b2+c2
n2nn[4,4]+
(b,c)
4nПлоский хиральный тороидальный многогранник
01{3,6}b,0
t=b2
t3t2t[3,6](b,0)12tПлоский тороидальный многогранник
01{3,6}b,b
t=2b2
t3t2t[3,6](b,b)12tПлоский тороидальный многогранник
01{3,6}b,c
t=b2+bc+c2
t3t2t[3,6]+
(b,c)
6tПлоский хиральный тороидальный многогранник
01{6,3}b,0
t=b2
2t3tt[3,6](b,0)12tПлоский тороидальный многогранник
01{6,3}b,b
t=2b2
2t3tt[3,6](b,b)12tПлоский тороидальный многогранник
01{6,3}b,c
t=b2+bc+c2
2t3tt[3,6]+
(b,c)
6tПлоский хиральный тороидальный многогранник

В общем случае правильный тороидальный многогранник {p,q}b,c можно определить, если p или q чётные, хотя только один евклидов выше может существовать как тороидальный многогранник в размерности 4. В случае {2p,q} пути (b,c) можно определить как грань-ребро-грань на прямой, в то время как в двойственных {p,2q} формах пути (b,c) можно рассматривать как вершина-ребро-вершина.

См. также

Примечания

  1. Coxeter, Moser, 1980.
  2. Carlo Séquin. Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps. Berkeley University.
  3. Coxeter, Moser, 1980, с. 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.
  4. Coxeter, Moser, 1980, с. 8.4 Maps of type {3,6} on a torus.
  5. Coxeter, Moser, 1980, с. Chapter 8, Regular maps, 8.3 Maps of type {4,4} on a torus, 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.

Литература

  • Coxeter H. S. M., Moser W. O. J. . — 4th. — Springer Verlag, 1980. — Т. 14. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). — ISBN 978-0-387-09212-6. Перевод:
    • Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж. Мозер. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп / Перевод В.А. Чуркина, под редакцией Ю.И. Мерзлякова.. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1980.
  • Jack van Wijk. Symmetric tiling of closed surfaces: visualization of regular maps // Proc. SIGGRAPH (ACM Transactions on Graphics). — 2009. Т. 28, вып. 3. С. 12. doi:10.1145/1531326.1531355. Архивировано 9 июня 2011 года.
  • Marston Conder, Peter Dobcsányi. Determination of all regular maps of small genus // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 2001. Т. 81, вып. 2. С. 224—242. doi:10.1006/jctb.2000.2008.
  • Roman Nedela. Maps, Hypermaps, and Related Topics. — 2007.
  • Andrew Vince. Maps // Handbook of Graph Theory. — 2004.
  • Ulrich Brehm, Egon Schulte. Polyhedral Maps // Handbook of Discrete and Computational Geometry. — 2004.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.