Граф Турана

Граф Турана T(n,r) — это граф, образованный разложением n вершин на r подмножеств, с как можно близким размером, и вершины в этом графе соединены ребром, если они принадлежат разным подмножествам. Граф будет иметь подмножеств размером и подмножеств размером . Таким образом, это полный r-дольный граф

Граф Турана
Назван в честь Пал Туран
Вершин n
Рёбер
Радиус
Диаметр
Обхват
Хроматическое число r
Обозначение = T(n,r)
 Медиафайлы на Викискладе

Каждая вершина имеет степень либо , либо . Число рёбер равно

Граф является регулярным, если n делится на r.

Теорема Турана

Графы Турана названы в честь Пала Турана, использовавшего их для доказательства теоремы Турана, важного результата в экстремальной теории графов.

По принципу Дирихле, любое множество из r + 1 вершин в графе Турана включает две вершины из одной и той же доли графа. Таким образом, граф Турана не содержит клику размера r + 1. Согласно теореме Турана, граф Турана имеет максимально возможное число рёбер среди всех графов без клик размера r + 1, имеющих n вершин. Киваш и Судаков (Keevash, Sudakov, 2003) показали, что граф Турана является единственным графом без клик размера r + 1, имеющим порядок n, в котором любое подмножество из αn вершин имеет по меньшей мере рёбер, если α достаточно близко к 1. Теорема Эрдёша–Стоуна расширяет теорему Турана, ограничивая число рёбер в графе, не имеющем фиксированный граф Турана в качестве подграфа. Вследствие этой теоремы в теории экстремальных графов для любого запрещённого подграфа можно доказать похожие границы, зависящие от хроматического числа подграфа.

Особые случаи

Октаэдр, вершины и рёбра которого образуют граф Турана T(6,3).

Некоторые величины параметра r графов Турана приводят к замечательным графам, которые изучаются отдельно.

Граф Турана T(2n,n) можно получить удалением совершенного паросочетания из полного графа K2n. Как показал Робертс (Roberts 1969), рамочность этого графа равна в точности n. Этот граф иногда называют графом Робертса. Этот граф является также 1-скелетом n-мерного кографа. Например, граф T(6,3) = K2,2,2 — это граф правильного октаэдра. Если n пар приходят на вечеринку и каждый человек пожимает руку всем, кроме своего партнёра, то данный граф описывает множество рукопожатий. По этой причине его также называют графом коктейль-вечеринки.

Граф Турана T(n,2) — это полный двудольный граф, и, если n чётно, это граф Мура. Если r — это делитель n, граф Турана является симметричным и сильно регулярным, хотя некоторые авторы считают, что графы Турана являются тривиальным случаем сильной регулярности и потому исключают их из определения строго регулярных графов.

Граф Турана имеет 3a2b наибольших клик, где 3a + 2b = n иb ≤ 2. Каждая наибольшая клика образуется выбором одной вершины из каждой доли. Это число наибольших клик является наибольшим возможным среди всех графов с n вершинами, независимо от числа рёбер в графе (Мун и Мозер, 1965). Эти графы иногда называют графами Муна-Мозера.

Другие свойства

Любой граф Турана является кографом. Таким образом, его можно образовать из отдельных вершин последовательностью операций дизъюнктного объединения и дополнения. В частности, такую последовательность можно начать образованием всех независимых множеств графа Турана как дизъюнктного объединения изолированных вершин. Тогда весь граф является дополнением дизъюнктного объединения дополнений этих независимых множеств.

Чао и Новацки (Chao, Novacky, 1982) показали, что графы Турана хроматически единственны — никакие другие графы не имеют те же самые хроматические многочлены. Никифоров (Nikiforov, 2005) использовал графы Турана для нахождения нижней границы суммы kсобственных значений графа и его дополнения.

Фолс, Повел и Снойинк (Falls, Powell, Snoeyink) разработали эффективный алгоритм для поиска кластеров ортологических групп генов в геноме путём представления данных как графа и поиска больших подграфов Турана.

Графы Турана имеют также ряд интересных свойств, связанных с геометрической теорией графов. Пор и Вуд (Pór, Wood, 2005) дают нижнюю границу Ω((rn)3/4) любого трёхмерного вложения графа Турана. Витсенхаузен (Witsenhausen, 1974) высказал гипотезу, что максимальная сумма квадратов расстояний между n точками внутри шара в Rd единичного диаметра достигается на конфигурации, образованной вложению графа Турана в вершины правильного симплекса.

Граф G с n вершинами является подграфом графа Турана T(n,r) тогда и только тогда, когда G допускает справедливую раскраску в r цветов. Разложение графа Турана на независимые множества соответствует разложению G на классы цветов. В частности, граф Турана является единственным максимальным графом с n вершинами со справедливой раскраской в r цветов.

Примечания

    Литература

    • C. Y. Chao, G. A. Novacky. On maximally saturated graphs // Discrete Mathematics. — 1982. Т. 41, вып. 2. С. 139–143. doi:10.1016/0012-365X(82)90200-X.
    • Craig Falls, Bradford Powell, Jack Snoeyink. Computing high-stringency COGs using Turán type graphs.
    • Peter Keevash, Benny Sudakov. Local density in graphs with forbidden subgraphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 2003. Т. 12, вып. 2. С. 139–153. doi:10.1017/S0963548302005539.
    • J. W. Moon, L. Moser. On cliques in graphs // Israel Journal of Mathematics. — 1965. Т. 3. С. 23–28. doi:10.1007/BF02760024.
    • Vladimir Nikiforov. Eigenvalue problems of Nordhaus-Gaddum type. — 2005. arXiv:math.CO/0506260.
    • Attila Pór, David R Wood. Proc. Int. Symp. Graph Drawing (GD 2004). — Lecture Notes in Computer Science no. 3383, Springer-Verlag, 2005. — С. 395–402. doi:10.1007/b105810.
    • F. S. Roberts. Recent Progress in Combinatorics. — Academic Press, 1969. — С. 301–310.
    • P. Turán. On an extremal problem in graph theory // Matematiko Fizicki Lapok. — 1941. Т. 48. С. 436–452.
    • H. S. Witsenhausen. On the maximum of the sum of squared distances under a diameter constraint // American Mathematical Monthly. — The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 10, 1974. Т. 81, вып. 10. С. 1100–1101. doi:10.2307/2319046. — .

    Ссылки

    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.