Класс Чженя

Классы Чженя — это характеристические классы. Они являются топологическими инвариантами, ассоциированными с векторными расслоениями на гладких многообразиях. Вопрос, являются ли два внешне различные векторные расслоения одним и тем же расслоением может оказаться достаточно сложной задачей. Классы Чженя дают простой тест — если классы Чженя пары векторных расслоений не согласуются, векторные расслоения различны. Обратное, однако, не верно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, как много линейно независимых сечений имеет векторное расслоение. Классы Чженя дают некоторую информацию об этом посредством, например, теоремы Римана — Роха и теоремы Атьи — Зингера об индексе.

Классы Чженя также удобны для практических вычислений. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии), классы Чженя можно выразить как многочлены от коэффициентов формы кривизны.

Существуют различные подходы к классам, каждый из которых фокусируется на слегка различных свойствах классов Чженя.

Исходным подходом к классам Чженя был подход со стороны алгебраической топологии — классы Чженя возникают через теорию гомотопии, которая позволяет построить ассоциированное с расслоением V отображение многообразия в классифицирующее пространство (бесконечный грассманиан в этом случае). Для любого векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство, такое что расслоение V равно прообразу (относительно f) универсального расслоения над классифицирующим пространством, а классы Чженя расслоения V можно поэтому определить как прообразы классов Чженя универсального расслоения. Эти универсальные классы Чженя, в свою очередь, можно выписать явно в терминах циклов Шуберта.

Можно показать, что два отображения f и g из M в классифицирующее пространство, прообразы относительно которых являются тем же самым расслоением V, должны быть гомотопными. Таким образом, прообразы относительно f и g любого универсального класса Чженя в классе когомологий многообразия M должны быть одним и тем же классом. Это показывает, что классы Чженя расслоения V корректно определены.

Подход Чженя опирается на дифференциальную геометрию через описанное в этой статье использование кривизны. Чжень показал, что более раннее определение было, фактически, эквивалентно его определению. Получившаяся теория известна как теория Чженя — Вейля.

Существует также подход Александра Гротендика, показавшего, что аксиоматически достаточно определить только классы линейных расслоений.

Классы Чженя возникают естественным образом в алгебраической геометрии. Обобщённые классы Чженя в алгебраической геометрии можно определить для векторных расслоений (или, более точно, локально свободных пучков) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Чженя не накладывают ограничений на основное поле. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными.

Независимо от исходной парадигмы интуитивное значение класса Чженя касается 'нулей' сечений векторного расслоения. Например, теорема, утверждающая, что нельзя причесать шар с волосами (теорема о причёсывании ежа). Хотя, строго говоря, вопрос относится к вещественному векторному расслоению («волосы» на шаре являются копиями вещественной прямой), существуют обобщения, в которых «волосы» комплексны (см. пример комплексной теоремы о причёсывании ежа ниже), или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

Если задано комплексное эрмитово векторное расслоение V комплексного ранга n над дифференцируемым многообразием M, представитель каждого класса Чженя (который называется формой Чженя) c_k(V) расслоения V задаётся при помощи коэффициентов характеристического многочлена формы кривизны ${\displaystyle \Omega }$ расслоения V.

${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+E\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$

Детерминант берётся над кольцом матриц n × n, элементы которых являются многочленами от t с коэффициентами из коммутативной алгебры чётных комплексных дифференциальных форм на M. Форма кривизны ${\displaystyle \Omega }$ расслоения V определяется выражением

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$

где ${\displaystyle \omega }$ — форма связности, а d — внешний дифференциал, или тем же выражением, в котором ${\displaystyle \omega }$ является калибровочной формой для калибровочной группы для расслоения V. Скаляр t используется только как неизвестная переменная для генерации суммы из определителя, а E означает единичную матрицу размера n × n.

Слова, что данное выражение даёт представителя класса Чженя означают, что 'класс' здесь определён с точностью до точной дифференциальной формы. То есть, классы Чженя являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама. Можно показать, что класс когомологий форм Чженя не зависит от выбора связности в V.

Используя матричное тождество tr(ln(X))=ln(det(X)) и ряд Маклорена для ln(X+I), это выражение для формы Чженя разворачивается в

${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$

Можно определить класс Чженя в терминах класса Эйлера. Этот подход используется в книге Милнора и Сташефа[4] и подчёркивает роль ориентации векторного расслоения.

Основное наблюдение заключается в том, что комплексное векторное расслоение обладает канонической ориентацией из-за того, что ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ связна. Следовательно, можно определить старший класс Чженя расслоения как его класс Эйлера и работать с остальными классами Чженя по индукции.

Точная конструкция следующая. Идея заключается в изменении базиса для получения расслоения на единицу меньшего ранга. Пусть ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ является комплексным векторным расслоением над паракомпактным пространством B. Рассматриваем B как вложенное в E нулевое сечение, полагаем ${\displaystyle B'=E-B}$ и определяем новое векторное расслоение:

${\displaystyle E'\to B',}$

слой которого является фактором слоя F расслоения E по прямой, натянутой на вектор v в F (точка в B' определяется слоем F расслоения E и ненулевым вектором из F.)[5]. Тогда E' имеет ранг на единицу меньше, чем ранг E. Из последовательности Гизина для расслоения ${\displaystyle \pi |_{B'}:B'\to B}$:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$

мы видим, что ${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$ является изоморфизмом для k < 2n − 1. Пусть

${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{cases}}}$

Нужна ещё некоторая работа, чтобы проверить выполнение аксиом классов Чженя для такого определения.

Пусть CP¹ — сфера Римана, 1-мерное комплексное проективное пространство. Предположим, что z является голоморфной локальной координатой на сфере Римана. Пусть V = TCP¹ — пучок комплексных касательных векторов, имеющих вид a∂/∂z в каждой точке, где a является комплексным числом. Мы докажем комплексную версию теоремы о причёсывании ежа: V не имеет не обращающихся в ноль сечений.

Для этого нам нужен следующий факт: первый класс Чженя тривиального расслоения равен нулю, то есть,

${\displaystyle c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0.}$

Это следует из того, что тривиальное расслоение всегда обладает плоской связностью.

Покажем, что

${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$

Рассмотрим кэлерову метрику

${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$

Можно показать, что 2-форма кривизны задаётся выражением

${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$

Кроме того, по определению первого класса Чженя

${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \ \Omega \right].}$

Мы должны показать, что этот класс когомологий ненулевой. Для этого достаточно вычислить интеграл по сфере Римана:

${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$

после перехода к полярной системе координат. По теореме Стокса интеграл от точной формы должен равняться 0, так что класс когомологий ненулевой.

Это доказывает, что TCP¹ не является тривиальным векторным расслоением.

Существует точная последовательность расслоений[6]:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}}$ является структурным пучком (то есть тривиальным линейным расслоением), ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)}$ является скручивающим пучком Серра (то есть пучком гиперплоскостей), а последний ненулевой член является касательным пучком/расслоением.

Имеется два пути получения вышеупомянутой последовательности:

Ввиду аддитивности полного класса Чженя c = 1 + c₁ + c₂ + … (то есть формулы суммы Уитни),

${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1}}$,

где a — канонический генератор группы когомологий ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$. То есть взятое со знаком минус значение первого класса Чженя тавтологического линейного расслоения ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)}$ (замечание: ${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$, когда E^* является двойственным для E.)

В частности, для любого ${\displaystyle k\geqslant 0}$,

${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$

Классы Чженя удовлетворяют следующим четырём аксиомам:

Аксиома 1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$ для всех расслоений E.

Аксиома 2. Естественность: Если ${\displaystyle f:Y\to X}$ является непрерывным и f*E является индуцированным векторным расслоением расслоения E, то ${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$.

Аксиома 3. Формула суммы Уитни: Если ${\displaystyle F\to X}$ является другим комплексным векторным расслоением, то классы Чженя прямой суммы ${\displaystyle E\oplus F}$ задаются выражением

${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$

то есть,

${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$

Аксиома 4. Нормализация: Полный класс Чженя тавтологического линейного расслоения над CP^k равен 1−H, где H двойственен по Пуанкаре гиперплоскости ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k}}$.

Альтернативно, Гротендик[10] заменил эти аксиомы чуть меньшим числом аксиом:

• Естественность: (То же, что и выше)
• Аддитивность: Если ${\displaystyle \ 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ является точной последовательностью векторных расслоений, то ${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$.
• Нормализация: Если E является линейным расслоением, то ${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })}$, где ${\displaystyle e(E_{\mathbf {R} })}$ — класс Эйлера лежащего в основе вещественного векторного расслоения.

Он показал, используя теорему Лере — Хирша, что полный класс Чженя комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определён в терминах первого класса Чженя тавтологически определённого линейного расслоения.

А именно, введя проективизацию P(E) комплексного векторного расслоения ${\displaystyle E\rightarrow B}$ ранга n как расслоение на B, слой которого в произвольной точке ${\displaystyle b\in B}$ является проективным пространством слоя E_b. Тотальное пространство этого расслоения P(E) снабжено его тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначаем ${\displaystyle \tau }$, а первый класс Чженя

${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$

ограничивается на каждом слое P(E_b) на взятый со знаком минус класс (двойственный по Пуанкаре) гиперплоскости, который порождает когомологии слоя.

Классы

${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))}$,

таким образом, образуют семейство классов когомологий, ограничивающихся на базис когомологий слоя. Теорема Лере — Хирша утверждает, что любой класс в H*(P(E)) можно записать единственным образом как линейную комбинацию 1, a, a², …, aⁿ⁻¹ с классами на базисе в качестве коэффициентов.

В частности, можно определить классы Чженя расслоения E в смысле Гротендика, которые обозначаются как ${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$ раскладывая класс ${\displaystyle -a^{n}}$ таким образом:

${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$

Можно проверить, что это альтернативное определение совпадает с любым другим определением.

Фактически, эти свойства однозначно определяют классы Чженя. Из них вытекает, среди прочего:

• Если n является комплексным рангом V, то ${\displaystyle c_{k}(V)=0}$ для всех k > n. Таким образом, полный класс Чженя обрывается.
• Старший класс Чженя расслоения V (${\displaystyle c_{n}(V)}$, где n является рангом V) всегда равен классу Эйлера лежащего в основе вещественного векторного расслоения.

Существует другое построение классов Чженя, которое принимает значения в алгебро-геометрическом аналоге кольца когомологий, кольце Чжоу. Можно показать, что существует единственная теория классов Чженя, такая, что для заданного алгебраического векторного расслоения ${\displaystyle E\to X}$ над квазипроективным многообразием существует последовательность классов ${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$, такая, что

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$
2. Для обратимого пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$, ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]}$
3. Если дана точная последовательность векторных расслоений ${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0,}$ выполняется формула суммы Уитни: ${\displaystyle c(E)=c(E')c(E'')}$
4. ${\displaystyle c_{i}(E)=0}$ для ${\displaystyle i>{\text{rank}}(E)}$
5. Отображение ${\displaystyle E\mapsto c(E)}$ расширяется до морфизма кольца ${\displaystyle c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)}$

Используя эти соотношения, мы можем осуществить многочисленные вычисления для векторных расслоений. Во-первых, заметим, что если у нас есть линейные расслоения ${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {L}}'}$ мы можем образовать короткую точную последовательность векторных расслоений

${\displaystyle 0\to {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}'\to {\mathcal {L}}'\to 0}$

Используя свойства ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}')&=c({\mathcal {L}})c({\mathcal {L}}')\\&=(1+c_{1}({\mathcal {L}}))(1+c_{1}({\mathcal {L}}'))\\&=1+c_{1}({\mathcal {L}})+c_{1}({\mathcal {L}}')+c_{1}({\mathcal {L}})c_{1}({\mathcal {L}}')\end{aligned}}}$

По индукции получаем

${\displaystyle c(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{i})=c({\mathcal {L}}_{1})\cdots c({\mathcal {L}}_{n})}$

Поскольку линейные расслоения на гладком проективном многообразии ${\displaystyle X}$ определяются классом дивизоров ${\displaystyle [D]}$, а двойственное линейное расслоение определяется отрицательным классом дивизоров ${\displaystyle -[D]}$, мы получаем

${\displaystyle c_{1}({\mathcal {L}})=-c_{1}({\mathcal {L}}^{*})}$

Вышеизложенное можно применить к последовательности Эйлера для проективного пространства

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

чтобы вычислить

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}})c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)})\\c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}})&=(1+H)^{n+1}\\&={n+1 \choose 0}1+{n+1 \choose 1}H+\cdots +{n+1 \choose n}H^{n}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle H}$ — класс гиперплоскостей степени 1. Заметим также, что ${\displaystyle H^{n+1}=0}$ в кольце Чжоу ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$.

Вычисление характеристических классов для проективного пространства является основой для вычисления характеристических классов многих других пространств, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ существует короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

Например, рассмотрим трёхмерную квинтику в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$. Тогда нормальное расслоение задаётся ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(5)}$ и мы имеем короткую точную последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0}$

Пусть ${\displaystyle h}$ означает класс гиперплоскостей в ${\displaystyle A^{\bullet }(X)}$. Тогда формула суммы Уитни даёт нам

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5}\\&=1+5h+10h^{2}+10h^{3}\end{aligned}}}$

Поскольку кольцо Чжоу гиперповерхности трудно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$. Это даёт нам

${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}}$

Заметим, что имеет место формальный степенной ряд

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1+5h}}&=1-5h+25h^{2}-125h^{3}+\cdots \\&=1-5h+25h^{2}-125h^{3}\end{aligned}}}$

Используя это, мы можем получить

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&=(1+5h+10h^{2}+10h^{3})(1-5h+25h^{2}-125h^{3})\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}$

Используя теорему Гаусса — Бонне, мы можем проинтегрировать класс ${\displaystyle c_{3}({\mathcal {T}}_{X})}$ для вычисления эйлеровой характеристики. Традиционно это называется классом Эйлера. Имеем

${\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200}$

поскольку класс ${\displaystyle h^{3}}$ может быть представлен пятью точками (по теореме Безу. Эйлерова характеристика может быть тогда использована для вычисления чисел Бетти ${\displaystyle X}$ путём использования определения эйлеровой характеристики и теоремы Лефшеца о гиперплоских сечениях.

Другое полезное вычисление — кокасательное расслоение для проективного пространства. Мы можем дуализировать эйлерову последовательность и получить

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

Используя формулу суммы Уитни мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{n}})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}^{\oplus (n+1)})c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}})\\&=(1-H)^{n+1}\\&=1-{n+1 \choose 1}H+{n+1 \choose 2}H^{2}+\cdots +{n+1 \choose n}(-1)^{n}H^{n}\end{aligned}}}$

Классы Чженя можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в пополнение его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Чженя определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

Более общо, если ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$ является прямой суммой линейных расслоений с первыми классами Чженя ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$ характер Чженя определяется аддитивно

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$

Это можно переписать следующим образом[11]:

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$

Это последнее выражение, подкреплённое принципом расщепления, используется как определение ch(V) для произвольных векторных расслоений V.

Если для определения классов Чженя используется связность в случае, когда базой является многообразие (то есть теория Чженя — Вейля), явным выражением для характера Чженя является

${\displaystyle {\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$

где ${\displaystyle \Omega }$ – кривизна связности.

Характер Чженя полезен в том числе тем, что он позволяет вычислить класс Чженя тензорного произведения. Точнее говоря, он удовлетворяет следующим равенствам:

${\displaystyle {\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)}$

${\displaystyle {\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).}$

Как утверждалось выше, используя аксиому аддитивности Гротендика для классов Чженя, первое из этих тождеств можно обобщить до утверждения, что ch является гомоморфизмом абелевых групп из K-теории K(X) в рациональные когомологии пространства X. Второе тождество устанавливает факт, что этот гомоморфизм сохраняет произведение в K(X), а потому ch является гомоморфизмом колец.

Характер Чженя используется в теореме Хирцебруха — Римана — Роха.

Если мы работаем с ориентированным многообразием размерности 2n, то любое произведение классов Чженя полной степени 2n может быть спарено с фундаментальным классом (или «интегрировано по многообразию»), давая целое число, число Чженя векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существует три линейно независимых числа Чженя, задаваемых значениями c₁³, c₁c₂ и c₃. В общем случае, если многообразие имеет размерность 2n, число независимых чисел Чженя равно числу разбиений числа n.

Числа Чженя касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Чженя многообразия и являются важными инвариантами.

Существует обобщение теории классов Чженя, где обычные когомологии заменяются на обобщённые. Теории, для которых такое обобщение возможно, называются комплексно ориентируемыми. Формальные свойства классов Чженя остаются теми же с одной критической разницей — правило вычисления первого класса Чженя тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Чженя разложения не является (обычным) сложением, а задаётся законом формальной группы.

В алгебраической геометрии существует похожая теория классов Чженя векторных расслоений. Существует несколько вариаций, в зависимости от того, в каких группах классы Чженя лежат:

• Для комплексных многообразий классы Чженя могут принимать значения в обычных когомологиях (как выше).
• Для многообразий над полями общего вида классы Чженя могут принимать значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии или l-адические когомологии.
• Для многообразий V над полями общего вида классы Чженя могут принимать также значения в гомоморфизмах групп Чжоу CH(V). Например, первый класс Чженя линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH(V) в CH(V), уменьшающий степень на 1. Это соответствует факту, что группы Чжоу являются аналогом групп гомологий и элементы групп когомологий можно считать гомоморфизмами групп гомологий путём произведения Уитни.

Теория классов Чженя является источником инвариантов кобордизмов для почти комплексных структур.

Если M — почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение является комплексным векторным расслоением. Классы Чженя многообразия M тогда определяются как классы Чженя его касательного расслоения. Если M является также компактным и имеет размерность 2d, то каждый одночлен полной степени 2d в классах Чженя может быть спарен с фундаментальным классом многообразия M, давая целое число, число Чженя многообразия M. Если M′ является другим почти комплексным многообразием той же размерности, то оно бордантно M тогда и только тогда, когда число Чженя многообразия M′ совпадает с числом Чженя многообразия M.

Теория также обобщается на вещественные симплектические векторные расслоения путём использования совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют однозначно определённый класс Чженя.

(См. Геометрии Аракелова)