Формула Гаусса — Бонне

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей ${\displaystyle \partial \Omega }$. Обозначим через ${\displaystyle K}$ гауссову кривизну ${\displaystyle \Omega }$ и через ${\displaystyle k_{g}}$ геодезическую кривизну ${\displaystyle \partial \Omega }$. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\;d\sigma +\int \limits _{\partial \Omega }k_{g}\;ds=2\pi \chi (\Omega ),}$

где ${\displaystyle \chi (\Omega )}$ — эйлерова характеристика ${\displaystyle \Omega }$.

В частности, если у ${\displaystyle \Omega }$ нет границы, получаем

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\;d\sigma =2\pi \chi (\Omega )}$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом[1], Пьер Оссиан Бонне[2] и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей "Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces". Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика[3]. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке[4].

• Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома ${\displaystyle P_{i}}$ касательный вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ разворачивается на угол ${\displaystyle \phi _{i}}$ в сторону области ${\displaystyle \Omega }$ (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:

  ${\displaystyle \int \limits _{\Omega }Kd\sigma +\int \limits _{L}k_{g}ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega )}$

• Обобщённая формула Гаусса — Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.

• Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.

• Согласно формуле Гаусса — Бонне, любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы ${\displaystyle \pi }$. Теорема сравнения Топоногова уточняет это неравенство.

• Формула Гаусса

1. C. F. Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.
2. Bonnet, 1848 'Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces', J. École Polytechnique 19 (1848) pp. 1—146
3. von Dyck W. Beiträge zur analysis situs. Math Ann, 32: 457–512 (1888)
4. Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921

• С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116—121.
• Wu, Hung-Hsi. "Historical development of the Gauss-Bonnet theorem." Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777-784.