Обобщённая формула Гаусса — Бонне

Обобщённая формула Гаусса — Бонне была доказана независимо и почти одновременно Вейлем[1] и Аллендорфером[2] для замкнутых Римановых многообразий, допускающих изометричные вложения в евклидово пространство. (Идея доказательства состояла в подсчёте степени Гауссова отображения гиперповерхности образованной границей малой трубчатой окрестности данного подмногообразия.) На этот момент не было известно все ли многообразия допускают такие вложения — теорема Нэша о регулярных вложениях была доказана только в 1956 году.

В 1945 году, Черн[3] обобщил формулу на случай всех Римановых многообразий.

Пусть ${\displaystyle M}$ — компактное ориентируемое 2n-мерное риманово многообразие без края, и ${\displaystyle \Omega }$ — его форма кривизны. Заметим, что форма ${\displaystyle \Omega }$ может рассматриваться как кососимметричная матрица, чьи компоненты являются 2-формами на ${\displaystyle M}$. В частности, ${\displaystyle \Omega }$ — это матрица над коммутативным кольцом

${\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{\text{чёт}}T^{*}M.}$

Поэтому можно посчитать её пфаффиан ${\displaystyle \operatorname {Pf} (\Omega )}$, который является 2n-формой.

Обобщенная формула Гаусса — Бонне может быть записана как

${\displaystyle \int \limits _{M}\operatorname {Pf} (\Omega )=(2\pi )^{n}\chi (M)}$,

где ${\displaystyle \chi (M)}$ обозначает эйлерову характеристику ${\displaystyle M}$.

• В размерности 2 формула превращается в обычную формулу Гаусса — Бонне
• В размерности четыре формулу можно переписать следующим удобным способом:

  ${\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int \limits _{M}\left(|\mathrm {Rm} |^{2}-4|\mathrm {Rc} |^{2}+\mathrm {R} ^{2}\right)d\mu }$,

где ${\displaystyle \mathrm {Rm} }$ — это полный тензор кривизны, ${\displaystyle \mathrm {Rc} }$ — тензор Риччи, и ${\displaystyle \mathrm {R} }$ — скалярная кривизна.

• Число Понтрягина
• Класс Понтрягина