Полуторалинейная форма

Пусть ${\displaystyle V}$ — конечномерное комплексное векторное пространство, тогда для любого базиса ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i}}$ полуторалинейную форму ${\displaystyle \varphi }$ можно представить при помощи матрицы ${\displaystyle \Phi }$ по следующей формуле:

$${\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T} }\Phi {\overline {z}}.}$$

Элементы матрицы ${\displaystyle \Phi }$ определяются из условия ${\displaystyle \Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).}$

Эрмитова форма (также полуторалинейная симметрическая форма) — это полуторалинейная форма ${\displaystyle h:V\times V\to \mathbb {C} }$ на комплексном пространстве ${\displaystyle V}$ такая, что

$${\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.}$$

В случае положительной определённости такой формы (определяемой аналогично билинейному случаю) говорят об эрмитовом скалярном произведении. Стандартное эрмитово произведение задаётся формулой

$${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.}$$

Пару из векторного пространства и определённой на нём эрмитовой формы ${\displaystyle (V,h)}$ называют эрмитовым пространством, а в положительно определённом случае — комплексным гильбертовым пространством. При записи эрмитовой формы в произвольном базисе получается эрмитова матрица.

При применении эрмитовой формы к одному и тому же вектору

$${\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}$$

всегда получается вещественное число. Можно показать, что комплексная полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда соответствующая квадратичная форма вещественна для всех ${\displaystyle z\in V.}$

Косоэрмитова форма — это полуторалинейная форма ${\displaystyle s:V\times V\to \mathbb {C} }$ на комплексном пространстве ${\displaystyle V}$ такая, что

$${\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.}$$

Каждую косоэрмитову форму можно представить как эрмитову, умноженную на ${\displaystyle i}$.

При записи косоэрмитовой формы в произвольном базисе получается косоэрмитова (антиэрмитова) матрица.

При применении косоэрмитовой формы к одному и тому же вектору

$${\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}$$

всегда получается чисто мнимое число.

Пусть ${\displaystyle K}$ — кольцо с делением, а ${\displaystyle \sigma }$ — фиксированный антиавтоморфизм этого кольца. Тогда ${\displaystyle \sigma }$-полуторалинейная форма на левом ${\displaystyle K}$-модуле ${\displaystyle M}$ — это билинейное отображение ${\displaystyle \varphi \colon M\times M\to K}$ такое, что для любых ${\displaystyle x,y}$ из модуля ${\displaystyle M}$ и любых скаляров ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ из ${\displaystyle K}$ выполнено:

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta ).}$

Для данной полуторалинейной формы ${\displaystyle \varphi }$ на модуле ${\displaystyle M}$ и подмодуля ${\displaystyle W}$ модуля ${\displaystyle M}$ ортогональным дополнением ${\displaystyle W}$ называется

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.}$

Аналогично, говорят, что элемент ${\displaystyle x\in M}$ ортогонален элементу ${\displaystyle y\in M}$ по отношению к форме ${\displaystyle \varphi }$, если ${\displaystyle \varphi (x,y)=0}$. Это обозначают как ${\displaystyle x\perp _{\varphi }y}$, или просто ${\displaystyle x\perp y}$, если форма ясна из контекста. Это отношение не обязательно симметрично, то есть из ${\displaystyle x\perp y}$ не следует ${\displaystyle y\perp x}$. Если для всех ${\displaystyle x,y}$ из ${\displaystyle x\perp y}$ следует ${\displaystyle y\perp x}$, то форму называют рефлексивной.

Пусть ${\displaystyle V}$ — трёхмерное векторное пространство над конечным полем ${\displaystyle F=\operatorname {GF} (q^{2})}$, где ${\displaystyle q}$ — степень простого числа. Пусть два вектора ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ заданы координатами в стандартном базисе ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ и ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$. Тогда можно определить отображение ${\displaystyle \varphi }$ формулой:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.}$

Отображение ${\displaystyle \sigma :t\mapsto t^{q}}$ — автоморфизм ${\displaystyle F}$, являющийся инволюцией. Отображение ${\displaystyle \varphi }$ является ${\displaystyle \sigma }$-полуторалинейной формой. Эта форма эрмитова, а матрица ${\displaystyle M_{\varphi }}$, соответствующая этой форме в стандартном базисе — это просто единичная матрица.