Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство:

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда .

Это неравенство является частным случаем неравенства о средних (неравенство Коши).

Часть конуса , определяемая средним геометрическим чисел и (красная), лежит между плоскостью , определяемой средним арифметическим (синяя), и частью конуса , определяемой средним гармоническим (зелёная)

Определения

Выражение

называется средним арифметическим чисел .

Выражение

называется средним геометрическим чисел .

Выражение

называется средним гармоническим чисел .

Выражение

называется средним квадратическим чисел .

Связанные результаты

История

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году[1].

Доказательство

При n = 2

Рис. 1

Количество доказательств этого неравенства на данный момент сравнимо, наверное, только с количеством доказательств теоремы Пифагора. Приведем красивое геометрическое доказательство для случая . Пускай нам даны два отрезка длины и . Тогда построим окружность диаметром (см. рис. 1). От одного из концов диаметра отметим точку на расстоянии . Проведем через эту точку перпендикуляр к диаметру; полученная прямая пересечет окружность в двух точках, и . Рассмотрим полученную хорду. Треугольник прямоугольный, так как угол — вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, а значит, прямой. Итак, — высота треугольника , а высота в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое двух сегментов гипотенузы. Значит, . Аналогично, из треугольника получаем, что , поэтому . Так как — хорда окружности с диаметром , а хорда не превосходит диаметра, то получаем, что , или же . Заметим, что равенство будет тогда, когда хорда будет совпадать с диаметром, то есть при .

Алгебраическое же доказательство может быть построено следующим образом:

Отметим, что первый переход равносилен в силу неотрицательности и .

При n = 4

Достаточно положить , а также . Нетрудно видеть, в силу доказанного, что

.

По индукции с обратным шагом

Очевидно, переход от 2 к 4 по индукции влечёт за собой справедливость неравенства для , причём для интересующего нас найдётся . Полагая неравенство верным для , докажем его справедливость для . Для этого достаточно положить , тогда

По принципу индукции приведённое доказательство верно также и для .

Прямое доказательство

Поделим обе части неравенства на и произведем замену . Тогда при условиях необходимо доказать, что (1).

Воспользуемся методом математической индукции.

Нужно доказать, что если , то . Воспользуемся неравенством (1), которое по предположению индукции считаем доказанным для . Пусть . Тогда выполнены оба условия и предполагается доказанным неравенство или . Теперь заменим на . Это возможно сделать в силу того, что или , что, очевидно выполняется, так как . Таким образом, неравенство доказано.

Отражение в культуре

Эпизод с доказательством, что среднее арифметическое больше среднего геометрического, присутствует в одной из сцен кинофильма «Сердца четырёх» 1941 года.

Примечания

  1. Cauchy, Augustin-Louis. Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Première partie. Analyse algébrique. — Paris, 1821. С. 457—459. Архивировано 15 марта 2017 года.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.