Неравенство Карлемана

Нера́венство Ка́рлемана — математическое неравенство, названное в честь шведского математика Торстена Карлемана, который в 1923 году опубликовал и доказал данное неравенство[1]. Неравенство Карлемана можно рассматривать как вариацию классического неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Карлеман использовал это неравенство, чтобы доказать теорему Данжуа — Карлемана о квазианалитических функциях[2][3].

Формулировка

Пусть последовательность неотрицательных вещественных чисел. Тогда имеет место неравенство:

Коэффициент е (число Эйлера) в неравенстве является оптимальным, то есть неравенство не всегда выполняется, если е заменить на меньшее число. Неравенство становится строгим (со знаком «меньше», а не «меньше или равно»), если хотя бы одно не равно нулю[4].

Интегральная версия

У неравенства Карлемана существует интегральная версия, пригодная для любой неотрицательной функции :

Неравенство Карлесона

В 1954 году Леннарт Карлесон предложил обобщение интегрального неравенства Карлемана[5]:

Пусть выпуклая функция, причём Тогда для любого числа имеет место неравенство:

Неравенство Карлемана получается из неравенства Карлесона при

Доказательство

Элементарное доказательство в общих чертах описано ниже. Применим классическое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к последовательности :

где означает среднее геометрическое, а среднее арифметическое. Далее выпишем неравенство, полученное из формулы Стирлинга:

или, заменив на :

для любого

Отсюда:

или:

что завершает доказательство.

Можно также вывести неравенство Карлемана из неравенства Харди:

для неотрицательных чисел и ; для этого надо заменить на и устремить к бесконечности.

Примечания

  1. T. Carleman. Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.
  2. Duncan, John. Carleman's inequality (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 2003. Vol. 110, no. 5. P. 424—431. doi:10.2307/3647829.
  3. Pečarić, Josip. Carleman's inequality: history and new generalizations (англ.) // Aequationes Mathematicae : journal. — 2001. Vol. 61, no. 1—2. P. 49—62. doi:10.1007/s000100050160.
  4. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 334.
  5. Carleson, L. A proof of an inequality of Carleman (англ.) // Proc. Amer. Math. Soc. : journal. — 1954. Vol. 5. P. 932—933. doi:10.1090/s0002-9939-1954-0065601-3.

Литература

  • Xapди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства = Inequalities. М.: КомКнига, 2006. — 458 с. — ISBN 5-484-00363-6.
  • Rassias, Thermistocles M., editor. Survey on classical inequalities (неопр.). Kluwer Academic, 2000. — ISBN 0-7923-6483-X.CS1 maint: Extra text: authors list (link) Rassias, Thermistocles M., editor. Survey on classical inequalities (неопр.). Kluwer Academic, 2000. — ISBN 0-7923-6483-X.
  • Hörmander, Lars. The analysis of linear partial differential operators I: distribution theory and Fourier analysis, 2nd ed (англ.). Springer, 1990. — ISBN 3-540-52343-X.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.