Неравенство Харди

Нера́венство Ха́рди — математическое неравенство, названное в честь автора, английского математика Г. Х. Харди. Впервые опубликовано и доказано в 1920 году в заметке Харди[1], посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядах[2][3].

Формулировка

Приведём современный вариант неравенства; он несколько отличается от приведенного в первой публикации Харди — в 1926 году Эдмунд Ландау уточнил коэффициент в правой части[4].

Пусть последовательность неотрицательных вещественных чисел, не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа имеет место неравенство:

Константа справа является оптимальной, то есть в случае любого её уменьшения неравенство может не выполняться[5].

Интегральная версия

Если — неотрицательная интегрируемая функция, то[6]:

Равенство левой и правой части возможно тогда и только тогда, когда функция почти всюду равна нулю[6].

Замечания

Из неравенства Харди можно вывести как следствие неравенство Карлемана.

У интегрального неравенства Харди имеются многочисленные обобщения[7] [8].

Примечания

  1. Hardy, G. H. Note on a theorem of Hilbert (англ.) // Mathematische Zeitschrift : journal. — 1920. Vol. 6, no. 3—4. P. 314—317. doi:10.1007/BF01199965.
  2. Гильберта неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 967—968.
  3. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 315 и далее.
  4. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, примечание к теореме 327.
  5. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 326 и далее.
  6. Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 327.
  7. Математическая энциклопедия, 1985.
  8. Ruzhansky, Michael. Hardy inequalities on homogeneous groups : 100 years of Hardy inequalities. — ISBN 978-3-030-02894-7, 3-030-02894-1.

Литература

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.