Неравенство Харди

Нера́венство Ха́рди — математическое неравенство, названное в честь автора, английского математика Г. Х. Харди. Впервые опубликовано и доказано в 1920 году в заметке Харди[1], посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядах[2][3].

Формулировка

Приведём современный вариант неравенства; он несколько отличается от приведенного в первой публикации Харди — в 1926 году Эдмунд Ландау уточнил коэффициент в правой части[4].

Пусть $a_{1},a_{2},a_{3}\dots$ — последовательность неотрицательных вещественных чисел, не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа $p>1$ имеет место неравенство:

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.

Константа справа $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$ является оптимальной, то есть в случае любого её уменьшения неравенство может не выполняться[5].

Интегральная версия

Если $f(x)$ — неотрицательная интегрируемая функция, то[6]:

\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.

Равенство левой и правой части возможно тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ почти всюду равна нулю[6].

Замечания

Из неравенства Харди можно вывести как следствие неравенство Карлемана.

У интегрального неравенства Харди имеются многочисленные обобщения[7] [8].

Примечания

Hardy, G. H. Note on a theorem of Hilbert (англ.) // Mathematische Zeitschrift : journal. — 1920. — Vol. 6, no. 3—4. — P. 314—317. — doi:10.1007/BF01199965.
Гильберта неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 967—968.
Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 315 и далее.
Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, примечание к теореме 327.
Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 326 и далее.
Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 327.
Математическая энциклопедия, 1985.
Ruzhansky, Michael. Hardy inequalities on homogeneous groups : 100 years of Hardy inequalities. — ISBN 978-3-030-02894-7, 3-030-02894-1.

Литература

Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., М.: Наука, 1977, 456 с.
Xapди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства = Inequalities. — М.: КомКнига, 2006. — 458 с. — ISBN 5-484-00363-6.
Харди неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 772—773.
Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik. Weighted inequalities of Hardy type (неопр.). — World Scientific Publishing, 2003. — ISBN 981-238-195-3.
Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4CS1 maint: Uses editors parameter (link) Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4.

Ссылки

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Hardy inequality, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Hardy1920-1] Hardy, G. H. Note on a theorem of Hilbert (англ.) // Mathematische Zeitschrift : journal. — 1920. — Vol. 6, no. 3—4. — P. 314—317. — doi:10.1007/BF01199965.

[2] Гильберта неравенство // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 967—968.

[_500cf06d4948883b-3] Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 315 и далее.

[_167f3fc7807cb7f1-4] Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, примечание к теореме 327.

[_6908c46b57823c89-5] Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 326 и далее.

[NER327-6] Харди, Литтлвуд, Пойа, 2006, теорема 327.

[_c9b0649153a7d409-7] Математическая энциклопедия, 1985.

[8] Ruzhansky, Michael. Hardy inequalities on homogeneous groups : 100 years of Hardy inequalities. — ISBN 978-3-030-02894-7, 3-030-02894-1.