Карлеман, Торстен

Родился в семье школьного учителя Карла Юхана Карлемана. В 1910 году окончил школу и поступил в Уппсальский университет, который окончил в 1916 году. В 1917 году защитил диссертацию и стал доцентом Уппсальского университета. Его первая книга «Сингулярные интегральные уравнения с вещественным симметричным ядром» (1923) сделала имя Карлемана знаменитым. С 1923 года — профессор Лундского университета. В 1924 году по рекомендации Миттаг-Лёффлера назначен профессором Стокгольмского университета[6][5][7].

Карлеман имел хорошие отношения со многими математиками, посещал лекции в Цюрихе, Геттингене, Оксфорде, Сорбонне, Нанси и Париже, часто сам выступал там с лекциями. Часто посещал Париж[7]. Отличался своеобразным мрачным чувством юмора. Незадолго до смерти он сказал своим ученикам, что «преподавателей следует расстреливать в возрасте пятидесяти лет»[8]. В последнее десятилетие своей жизни злоупотреблял спиртным[9].

В 1929 году женился на Анне-Лизе Лемминг (1885—1954), в 1946 году супруги разошлись.

Основные направления исследований Карлемана — интегральные уравнения и теория функций. Многие его труды опередили своё время и поэтому были не сразу оценены по достоинству, но теперь рассматриваются как классические.[7].

Диссертация Карлемана и его первые труды в начале 1920-х годови был посвящены сингулярным интегральным уравнениям. Он разработал спектральную теорию для интегральных операторов с «ядром Карлемана», то есть таким ядром K(x, y) , что K(y, x) = K(x, y) для почти всех (x, y), и при этом:

${\displaystyle \int |K(x,y)|^{2}dy<\infty }$

для почти каждого х[10][11].

В середине 1920-х годов Карлеман разработал теорию квазианалитических функций. Он доказал необходимое и достаточное условие квазианалитичности, которое теперь называется теоремой Данжуа–Карлемана[12]. Как следствие, он получил «условие Карлемана» — достаточное условие для определённости проблемы моментов[13]. Как один из шагов в доказательстве теоремы Данжуа–Карлемана (1926), он представил неравенство Карлемана:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leqslant e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

справедливые для любой последовательности неотрицательных вещественных чисел ${\displaystyle a_{n}}$[14]. Ввёл понятие «континуума Карлемана»[15].

Примерно в то же время он установил «формулы Карлемана» в комплексном анализе, которые, в отличие от формул Коши, воспроизводят аналитическую функцию в области по её значениям на части границы (с ненулевой мерой Лебега). Он также доказал обобщение формулы Йенсена, которое теперь часто называется формулой Йенсена — Карлемана[6].

В 1930-е годы, независимо от Джона фон Неймана, Карлеман обнаружил вариант эргодической теоремы (the mean ergodic theorem)[16]. Позднее он занимался теорией дифференциальных уравнений в частных производных, где представил «оценки Карлемана»,[17], причём нашёл способ изучить спектральные асимптотики операторов Шрёдингера[18].

В 1932 году, развивая работы Анри Пуанкаре, Эрика Ивара Фредгольма и Бернарда Купмана, он разработал встраивание Карлемана (также называемое линеаризацией Карлемана)[19][20]. Карлеман также впервые рассмотрел граничную задачу аналитических функций со сдвигом, изменяющим направление обхода контура на обратное («граничная задача Карлемана»).

В 1933 году Карлеман опубликовал короткое доказательство того, что сейчас называется теоремой Данжуа — Карлемана — Альфорса[21]. Эта теорема утверждает, что число асимптотических значений, принимаемых целой функцией порядка ρ вдоль кривых на комплексной плоскости в направлении к бесконечной абсолютной величине, меньше или равно 2ρ.

В 1935 году Карлеман представил обобщение преобразования Фурье, которое стимулировало последующие работы Микио Сато о гиперфункциях[22]; его заметки были опубликованы в Carleman (1944). Он рассмотрел функции ${\displaystyle f}$ не более чем полиномиального роста и показал, что каждая такая функция может быть разложена как ${\displaystyle f_{+}+f_{-}}$, где слагаемые являются аналитическими в верхней и нижней полуплоскостях соответственно, причём представление является по существу единственным. Затем он определил Фурье-образы ${\displaystyle f_{+},f_{-}}$ как ещё одну такую пару ${\displaystyle g_{+},g_{-}}$. Это определение соответствует тому, что дано позднее Лораном Шварцем для обобщённых функций медленного роста, хотя концептуально от него отличается. Подход Карлемана вызвал множество работ, расширяющих его идеи[23].

Вернувшись к математической физике в 1930-е годы, Карлемана дал первое доказательство глобального существования для уравнения Больцмана в кинетической теории газов (его результат относится к пространственно-однородному случаю).[24]. Эта работа была опубликована посмертно в Carleman (1957).

Карлеман опубликовал пять книг и шестьдесят статей по математике.

• Carleman, T. Sur les équations integrales singulières à noyau réel et symétrique, Uppsala, 1923.
• Carleman, T. Les fonctions quasi analytiques (фр.). — Paris: Gauthier-Villars, 1926..
• Carleman, T. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen, «Berichte über die Verhandlungen Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-physikalische Klasse», 1936, Bd 88.
• Carleman, T. L'Intégrale de Fourier et Questions que s'y Rattachent (фр.). — Uppsala: Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler, 1944..
• Carleman, T. Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz (фр.). — Uppsala: Publ. Sci. Inst. Mittag-Leffler, 1957.
• Carleman, Torsten (1960), Pleijel, Ake; Lithner, Lars & Odhnoff, Jan, eds., Edition Complete Des Articles De Torsten Carleman, Litos reprotryk and l'Institut mathematique Mittag-Leffler.

• Боголюбов А. Н. Карлеман Таге Йиллис Торстен // Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев: Наукова думка, 1983. — С. 208. — 639 с.

• Лех Малигранда, Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Карлеман, Торстен (англ.) — биография в архиве MacTutor.
• Карлеман, Торстен (англ.) в проекте «Математическая генеалогия»
• Carleman theorem.