Гиперфункция (математика)

Гиперфункция одной переменной может рассматриваться как разность на вещественной оси между одной голоморфной функцией ${\displaystyle f}$, определённой на верхней комплексной полуплоскости, и другой ${\displaystyle g}$, определённой на нижней комплексной полуплоскости - ${\displaystyle (f,g)}$[1]. Гиперфункция одной переменной определяется лишь разностью двух функций ${\displaystyle f-g}$ на вещественной оси и не изменяется при добавлении к ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ одной и той же голоморфной на всей комплексной плоскости функции ${\displaystyle h}$, так что гиперфункции ${\displaystyle (f,g)}$ и ${\displaystyle (f+h,g+h)}$определяются как эквивалентные.

Пусть ${\displaystyle B'}$ - предпучок в ${\displaystyle R^{n}}$, определённый следующим образом[4]: если ${\displaystyle \Omega }$ не ограничено, то ${\displaystyle B'(\Omega )=\left\{0\right\}}$; если ${\displaystyle \Omega }$ ограничено, то ${\displaystyle B'(\Omega )=B(\Omega )}$; Ограничения ${\displaystyle B'(\Omega )\rightarrow B'(\omega )}$ определены так: ${\displaystyle 0\rightarrow 0}$, если ${\displaystyle \Omega }$ не ограничено, ${\displaystyle T\rightarrow T|\omega }$, если ${\displaystyle \Omega }$ ограничено. Пучком гиперфункций на ${\displaystyle R^{n}}$ называется пучок ${\displaystyle B}$, ассоциированный с передпучком ${\displaystyle B'}$.

Гиперфункция на ${\displaystyle \Omega }$ определяется: покрытием ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}\Omega _{i}}$, где ${\displaystyle \Omega _{i}}$ открыты и ограничены; и элементами ${\displaystyle T_{i}\in B(\Omega _{i})}$, для которых ${\displaystyle T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}=T_{j}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}}$.

Два таких набора ${\displaystyle (\Omega _{i},T_{i}),i\in I}$ и ${\displaystyle (\Omega _{i'},T_{i'}),i'\in I'}$ определяют одну и ту же гиперфункцию, если ${\displaystyle T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'}=T_{i'}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'},\forall i\in I,i'\in I'}$

• Для всякой голоморфной на всей комплексной плоскости функции f гиперфункцией является её значения на вещественной оси, представимые в виде ${\displaystyle (f,0)}$ или ${\displaystyle (0,-f)}$.
• Функция Хевисайда может быть представлена как гиперфункция:

${\displaystyle H(x)=\left({\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z),{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z)-1\right).}$

• Дельта-функция Дирака может быть представлена как гиперфункция:

${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2\pi iz}},{\tfrac {1}{2\pi iz}}\right).}$

• Умножение на аналитическую функцию. Пусть ${\displaystyle f\in {\mathfrak {A}}(\Omega )}$ - аналитическая функция, ${\displaystyle u\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )}$ - аналитический функционал. Тогда произведение ${\displaystyle fu\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )}$ определено формулой ${\displaystyle \langle fu,g\rangle =\langle u,fg\rangle ,\forall g\in {\mathfrak {A}}(\Omega )}$.

Гиперфункцию ${\displaystyle fT}$ определяет последовательность ${\displaystyle f{\overline {T_{n}}}|\Omega _{n}}$[5]

• Свертка. Пусть ${\displaystyle u\in H'(C^{n})}$ - голоморфный функционал , ${\displaystyle f\in H(C^{n})}$ - голоморфная функция с топологией. Тогда свёртка ${\displaystyle u*f\in H(C^{n})}$ определяется формулой ${\displaystyle (u*f)(z)=\langle u_{\xi },f(z-\xi )\rangle }$. Гиперфункцию ${\displaystyle u*T}$ определяет последовательность ${\displaystyle (u*T_{n})|\Omega _{n-p}}$[6]

• Обобщенная функция

• Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир, 1965. — 379 с.
• Шапира П. Теория гиперфункций. — М.: Мир, 1972. — 141 с.
• Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том I. Теория распределений и анализ Фурье. — М.: Мир, 1986. — 462 с.