Квантовый размерный эффект

Физическая основа существования квантового размерного эффекта — квантование энергии ограниченного движения частицы в потенциальной яме. Простейшей, точно решаемой моделью, является модель прямоугольной потенциальной ямы с бесконечными стенками. Дискретные уровни энергии частицы

${\displaystyle E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}}$

находятся из решения уравнения Шредингера и зависят от ширины ямы L (m — масса частицы, n=1,2,3…). Движение электронов проводимости в кристалле ограничено поверхностью образца которая, в силу большой величины работы выхода, может быть моделирована потенциальной ямой с бесконечными стенками. В теоретических работах[1][2] И. М. Лифшиц и А. М. Косевич впервые заметили, что изменение геометрических размеров проводника приводит к изменению числа заполненных дискретных уровней ниже энергии Ферми ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$, что должно проявиться в осциллирующей зависимости термодинамических величин и кинетических коэффициентов от размеров образца или ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$(химического потенциала). Условиями наблюдения КРЭ являются низкие температуры эксперимента (чтобы избежать температурного уширения квантовых уровней), чистые образцы с малым рассеянием на дефектах и соизмеримость размеров кристалла с дебройлевской длиной волны носителей заряда ${\displaystyle \lambda _{D}}$. В типичном металле ${\displaystyle \lambda _{D}}$ порядка межатомного расстояния (≤10Å) и при макроскопических размерах кристалла электронные состояния сливаются в непрерывный спектр. Поэтому впервые КРЭ был наблюден (В. Н. Луцкий, В. Б. Сандомирский, Ю. Ф. Огрин) в полупроводниках[3] и полуметалле висмуте[4], в которых ${\displaystyle \lambda _{D}}$~100Å. Теоретическое предсказание и экспериментальное наблюдение КРЭ были внесены в Государственный реестр открытий СССР.[5][6] Впоследствии КРЭ был наблюден в металлических пленках[7], и были обнаружены квантово-размерные осцилляции критической температуры сверхпроводимости пленок олова[8].

Квантовый размерный эффект в тонких пленках обусловлен тем, что поперечное движение электронов квантовано: проекция квазиимпульса на направление малого размера L (по оси z) может принимать лишь дискретный набор значений: ${\displaystyle |p_{z}|=(\pi h/L)n}$, ${\displaystyle n=1,2,3...}$. Это простое соотношение справедливо для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии в прямоугольной яме с бесконечно высокими потенциальными стенками, но оно достаточно для понимания физической природы эффекта. Размерное квантование квазиимпульса приводит к преобразованию спектра и возникновению «двумерных» подзон: энергия электронов определяется непрерывными компонентами квазиимпульса, параллельными поверхности пленки, и квантовым числом ${\displaystyle n}$. Квазидискретный характер спектра приводит к скачкам (ступенькам для двумерного электронного газа) в плотности состояний при значениях энергии, отвечающих минимальным энергиям в подзонах ${\displaystyle E_{n}}$. С другой стороны, при увеличении толщины пленки при некоторых значениях ${\displaystyle L_{n}}$ меняется число подзон в пределах фермиевской энергии ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$. Появление новых подзон происходит в окрестности точек пересечения экстремальной хорды ${\displaystyle P_{z}^{extr}}$с поверхностью Ферми. Вследствие этого термодинамические и кинетические характеристики осциллируют с периодом ${\displaystyle \Delta L=2\pi \hbar /P_{z}^{extr}}$[9]. В случае, когда ${\displaystyle E_{1}<\varepsilon _{F}<E_{2}}$, заполнена лишь одна зона размерного квантования, и электронный газ становится (квази) двумерным. Полупроводниковые гетероструктуры с двумерным электронным газом широко используются в физических исследованиях и современной наноэлектронике[10]

Типичным примером системы, в которой проявляется квантовый размерный эффект, может служить двойная гетероструктура AlGaAs/GaAs/AlGaAs с двумерным электронным газом, где электроны находящиеся в слое GaAs ограничены высокими потенциальными барьерами AlGaAs, то есть для электронов формируется потенциальная яма, описываемая дном зон проводимости двух материалов, малого размера (обычно порядка 10 нм) и возникают дискретные уровни, которые соответствуют движению электронов поперёк слоя GaAs, хотя продольное движение остаётся свободным. Эти уровни эффективно сдвигают зону проводимости вверх по энергии. В результате изменяется ширина запрещённой зоны GaAs и, соответственно, происходит сдвиг в синюю область края межзонного поглощения. Аналогично, но с большим изменением запрещённой зоны квантовый размерный эффект наблюдается в квантовых точках, где электрон ограничен по всем трём координатам.

Примером проявления КРЭ является размерное квантование кондактанса (кондактанс — величина, обратная электрическому сопротивлению) квантовых контактов (микросужений, тонких проволок и т. п., соединяющих массивные проводники), диаметр ${\displaystyle d}$ которых намного меньше длины свободного пробега носителей заряда и сравним с ${\displaystyle \lambda _{D}}$.

В 1957 году Ландауер показал[11], что проводимость одномерной проволочки, подсоединенной к массивным металлическим берегам, не зависит от величины энергии Ферми ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ и при нуле температуры и малых напряжениях равна кванту кондактанса ${\displaystyle G_{0}=2e^{2}/h}$, где ${\displaystyle e}$ — заряд электрона, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка Если диаметр проволочки сравним с ${\displaystyle \lambda _{D}\lesssim d}$, энергетический спектр внутри неё дискретен за счет КРЭ, и существует конечное число квантовых уровней ${\displaystyle N}$, с энергиями ${\displaystyle E_{n}<\varepsilon _{F}}$ (${\displaystyle n\leqslant N}$). Кондактанс ${\displaystyle G}$ при нуле температур определяется числом ${\displaystyle N}$ (или, как часто говорят, числом квантовых проводящих мод). Каждая из мод вносит вклад в ${\displaystyle G}$, равный ${\displaystyle G_{0}}$, так что полный кондактанс равен ${\displaystyle G=NG_{0}}$[12]. При фиксированном ${\displaystyle N}$ величина ${\displaystyle G}$ не зависит от диаметра проволочки. Энергии ${\displaystyle E_{n}}$ уменьшаются с увеличением диаметра ${\displaystyle d}$. С ростом ${\displaystyle d}$ в какой-то момент новая квантовая мода становится разрешенной (пересекает уровень Ферми), дает вклад в проводимость, а кондактанс скачком увеличивается на величину ${\displaystyle G_{0}}$.

Эффект квантования кондактанса (ступенчатая зависимость ${\displaystyle G(d)}$ с шагом, равным одному кванту ${\displaystyle G_{0}}$) был обнаружен в сужениях, созданных на основе двумерного электронного газа в GaAs-AlGaAs гетероструктурах[13][14]. Строго говоря, квантование уровней энергии возникает лишь в пределе бесконечно длинного канала, в то время как квантование кондактанса экспериментально наблюдается в сужениях, диаметр которых существенно увеличивается при удалении от их центра. Этот эффект был объяснен в работах[15][16], в которых было показано, что если форма 2D контакта адиабатически плавно меняется в масштабе ${\displaystyle \lambda _{D}}$, то его кондактанс квантуется, а положение ступеней на зависимости ${\displaystyle G(d)}$ определяется минимальным диаметром сужения.

Эффект квантования кондактанса наблюдается и в трехмерных металлических контактах, создаваемых с помощью сканирующего туннельного микроскопа и методом «разломных контактов» (break-junction)[17][18]. Теоретические исследования показали, что если контакт обладает цилиндрической симметрией, то вследствие вырождения уровней энергии по орбитальному квантовому числу, наряду со ступенями ${\displaystyle G_{0}}$ должны возникать ступени ${\displaystyle 3G_{0}}$, ${\displaystyle 5G_{0}}$…[19][20].

Изменение энергии носителей заряда и появление размерного квантования упрощённо объясняется в квантовой механике и принципом неопределённости. Если частица ограничена в пространстве в пределах расстояния L (допустим ограничен вдоль направления z), неопределённость z-компоненты её импульса возрастает на величину порядка ${\displaystyle \hbar /L}$. Соответствующее увеличение кинетической энергии частицы даётся выражением ${\displaystyle \Delta E=\hbar ^{2}/2m^{*}L^{2}}$, где ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса частицы. Кроме увеличения минимальной энергии частицы, квантовый размерный эффект приводит также к квантованию энергии её возбуждённых состояний. Энергии возбуждённых состояний для бесконечного одномерного потенциала прямоугольной ямы выражаются как ${\displaystyle E_{n}=\Delta En^{2}}$, где n = 1, 2, 3,…

• Davies, John H. The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction (англ.). — 6th reprint. — Cambridge University Press, 2006. — ISBN 0-521-48491-X.
• Размерные эффекты // Пустырник — Румчерод. — М. : Большая российская энциклопедия, 2015. — С. 172—173. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 28). — ISBN 978-5-85270-365-1.
• Комник, Ю. Ф. Физика металлических пленок : Размерные и структурные эффекты. — М. : Атомиздат, 1979. — 363 с.

Из БРЭ:

• Луцкий В. Н., Пинскер Т. Н. Размерное квантование. — М., 1983.
• Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. — М., 1985.
• Демиховский В. Я., Вугальтер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных структур. — М., 2000.

• Квантово-размерный эффект Штарка