Квантово-размерный эффект Штарка

Потенциал квантовой ямы может быть записан как

${\displaystyle V(z)={\begin{cases}0;&|z|<L/2\\V_{0};&|z|>L/2\\\end{cases}}}$,

где ${\displaystyle L}$ есть ширина ямы, а ${\displaystyle V_{0}}$ высота потенциальных барьеров. Связанные состояния в квантовой яме лежат в дискретном спектре энергий, ${\displaystyle E_{n}}$ и соответствующие волновые функции могут быть записаны следующим образом:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\phi _{n}(z){\frac {1}{\sqrt {A}}}e^{i(k_{x}\cdot {x}+k_{y}\cdot {y})}u(\mathbf {r} ).}$

В этом выражении, ${\displaystyle A}$ это площадь среза системы, перпендикулярная направлению квантизации, ${\displaystyle u(\mathbf {r} )}$ это периодическая Блоховская функция для энергии в полупроводнике, а ${\displaystyle \phi _{n}(z)}$ это слабо изменяющаяся огибающая функция системы.

Если квантовая яма достаточно глубока, её можно представить как квантовую яму с бесконечно высокими барьерами, то есть ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$. В этом упрощённом случаи аналитическое выражение для связанных волновых функций может быть записано как:

${\displaystyle \phi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\times {\begin{cases}\cos \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{odd}}\\\sin \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{even}}\end{cases}}.}$

Энергии связанных состояний:

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}\pi ^{2}}{2m^{*}L^{2}}},}$

где ${\displaystyle m^{*}}$ есть эффективная масса электрона в данном полупроводнике.

Предполагая поле в направлении z,

${\displaystyle \mathbf {E} =E\mathbf {z} ,}$

член Гамильтониана отвечающий возмущению есть,

${\displaystyle H'=eEz.}$

Поправка первого порядка к энергетическим уровням равно нулю из-за симметрии,

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|eEz|n^{(0)}\rangle =0}$.

Поправка второго порядка, например для n = 1, есть,

${\displaystyle E_{1}^{(2)}=\sum _{k\neq 1}{\frac {|\langle k^{(0)}|eEz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\approx {\frac {|\langle 2^{(0)}|eEz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}}}=-24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}E^{2}m_{e}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}}$

для электронов. Аналогичные вычисления можно сделать для дырок, заменяя эффективные массы электронов эффективными массами дырок.