Теория Бранса — Дикке

Как ОТО, так и теория Бранса — Дикке представляют собой примеры классических теорий гравитационного поля, называемых метрическими теориями. В этих теориях пространство-время описывается метрическим тензором ${\displaystyle g_{ab}}$, а гравитационное поле представляется, полностью или частично, тензором кривизны Римана ${\displaystyle R_{abcd}}$, который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, который на современном геометрическом языке гласит, что в маленькой области пространства, слишком маленькой, чтобы в ней проявлялись эффекты, связанные с кривизной пространства, все законы физики, существующие в специальной теории относительности, верны в локальной лоренцевой системе отсчёта. Отсюда следует, что, во всех метрических теориях проявляется эффект гравитационного красного смещения.

Как и в ОТО, источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса. Однако способ, которым наличие этого тензора в какой-либо области пространства влияет на гравитационное поле в этой области, оказывается другим. В теории Бранса — Дикке в дополнение к метрике, которая является тензором второго ранга, существует так же скалярное поле ${\displaystyle \phi }$, которое физически проявляется как изменение в пространстве эффективной гравитационной постоянной.

Уравнения поля теории Бранса — Дикке содержат параметр ${\displaystyle \omega }$, называемый константой связи Бранса — Дикке. Это настоящая безразмерная константа, которая выбирается один раз и не изменяется. Разумеется, её следует выбирать так, чтобы она соответствовала наблюдениям. Кроме того, существующее фоновое значение эффективной гравитационной постоянной должно быть использовано в качестве граничного условия. При возрастании константы связи теория Бранса — Дикке даёт предсказания, всё более близкие к ОТО, а в пределе ${\displaystyle \omega \rightarrow \inf }$ переходит в неё.

В ОТО безразмерные константы отсутствуют, и, следовательно, она легче поддаётся фальсификации, чем теория Бранса — Дикке. Теории, допускающие подгонку параметров, в принципе считаются менее удовлетворительными, и при выборе из двух альтернативных теорий следует выбирать ту, которая содержит меньшее количество параметров (принцип бритвы Оккама). Однако в некоторых теориях такие параметры являются необходимыми.

Теория Бранса — Дикке является менее строгой, чем ОТО и в ещё одном смысле — она допускает большее количество решений. В частности, точное вакуумное решение уравнений Эйнштейна ОТО, дополненное тривиальным скалярным полем ${\displaystyle \phi =1}$, становится точным вакуумным решением в теории Бранса — Дикке, однако некоторые решения, которые не являются вакуумными решениями ОТО, при соответствующем выборе скалярного поля становятся вакуумными решениями теории Бранса — Дикке. Аналогично, важный класс метрик пространства-времени, называемых pp-волнами, являются нулевыми пылевыми решениями как в ОТО, так и в теории Бранса — Дикке, однако в теории Бранса — Дикке существуют дополнительные волновые решения, имеющие геометрии, невозможные в ОТО.

Как и ОТО, теория Бранса — Дикке предсказывает гравитационное линзирование и прецессию перигелия планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, описывающие эти эффекты в ней, зависят от значения константы связи ${\displaystyle \omega }$. Это означает, что из наблюдений может быть получено значение нижней границы на возможные значения ${\displaystyle \omega }$. В 2003 году в ходе эксперимента Кассини-Гюйгенс было показано, что ${\displaystyle \omega }$ должно превышать 40000.

Часто можно услышать, что теория Бранса — Дикке, в отличие от ОТО, удовлетворяет принципу Маха. Однако некоторые авторы утверждают, что это не так (особенно учитывая отсутствие консенсуса о том, что, собственно, представляет собой принцип Маха). Обычно утверждается, что ОТО может быть получена из теории Бранса — Дикке при ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty }$. Однако Фараони (см. ссылки) утверждает, что такая точка зрения является упрощением. Утверждается так же, что только ОТО удовлетворяет сильному принципу эквивалентности.

Уравнения поля в теории Бранса — Дикке имеют следующий вид:

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T}$,

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi )+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi ),}$

где

• ${\displaystyle \omega }$ — безразмерная константа связи Бранса — Дикке,
• ${\displaystyle g_{ab}}$ — метрический тензор,
• ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$ — тензор Эйнштейна,
• ${\displaystyle R_{ab}={R^{\,m}}_{amb}}$ — тензор Риччи, след тензора кривизны,
• ${\displaystyle R={R^{\,m}}_{m}}$ — скаляр Риччи, след тензора Риччи,
• ${\displaystyle T_{ab}}$ — тензор энергии-импульса,
• ${\displaystyle T}$ — след ${\displaystyle T_{ab}}$,
• ${\displaystyle \phi }$ — скалярное поле,
• ${\displaystyle \Box }$ — оператор Лапласа — Бельтрами или ковариантный волновой оператор, ${\displaystyle \Box \phi =\phi _{\;\;;a}^{;a}}$

Первое уравнение утверждает, что след тензора энергии-импульса является источником скалярного поля ${\displaystyle \phi }$. Так как электромагнитное поле вносит вклад только в бесследовые члены тензора энергии-импульса, то в областях пространства, содержащих только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть выражения обращается в ноль и ${\displaystyle \phi }$ свободно проходит сквозь электровакуумный регион и ${\displaystyle \phi }$ удовлетворяет волновому уравнению (для искривлённого пространства). Это означает, что любые изменения в ${\displaystyle \phi }$ свободно распространяется через электровакуумную область; в этом смысле мы можем утверждать, что ${\displaystyle \phi }$ является дальнодействующем полем

Второе уравнение описывает, каким образом тензор энергии-импульса и скалярное поле ${\displaystyle \phi }$ совместно влияют на пространство-время. Слева тензор Эйнштейна может рассматриваться как средняя кривизна. Из математики следует, что в любой метрической теории тензор Римана может быть записан как сумма тензора Вейля (также называемого конформным тензором кривизны) плюс слагаемого, собираемого из тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнения поля в общей теории относительности

${\displaystyle G_{ab}=8\pi T_{ab}.}$

Оно означает, что в ОТО кривизна Эйнштейна полностью определяется тензором энергии-импульса, а другое слагаемое, кривизна Вейля, соответствует части гравитационного поля, распространяющейся сквозь вакуум. А в теории Бранса — Дикке тензор Эйнштейна определяется частично непосредственно присутствующими энергией и импульсом, а частично дальнодействующим скалярным полем ${\displaystyle \phi }$.

Уравнения поля в вакууме обоих теорий получаются при занулении тензора энергии-импульса. Они описывают ситуацию, когда все поля, кроме гравитационного, отсутствуют.

Лагранжиан, содержащий полное описание теории Бранса — Дикке, выглядит следующим образом:

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;\left(\phi R-\omega {\frac {\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi }{\phi }}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right),}$

где

• ${\displaystyle g}$ — детерминант метрики,
• ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ — четырёхмерная форма объёма,
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ — лагранжиан вещества.

Последнее слагаемое включает в себя вклад обычной материи и электромагнитного поля. В вакууме он обращается в ноль, и то, что остаётся, называется гравитационным слагаемым. Для того, чтобы получить вакуумные уравнения, мы должны посчитать его вариации относительно метрики ${\displaystyle g_{ab}}$; это даст нам второе из уравнений поля. При расчёте же вариаций относительно скалярного поля ${\displaystyle \phi }$ мы получим первое из уравнений. Заметим что, в отличие от уравнений ОТО, слагаемое ${\displaystyle \delta R_{ab}/\delta g_{cd}}$ не обнуляется, так как результат не является полным дифференциалом. Можно показать, что:

${\displaystyle {\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab}.}$

Для того, чтобы доказать это воспользуемся тем, что

${\displaystyle \delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).}$

При вычислении ${\displaystyle \delta \Gamma }$ в Римановых нормальных координатах 6 индивидуальных слагаемых оказываются равными нулю. Ещё 6 могут быть скомбинированы, используя теорему Стокса, что даёт ${\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab})\delta g^{ab}}$.

Для сравнения, в общей теории относительности действие имеет вид:

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }).}$

Считая вариации гравитационного члена относительно ${\displaystyle g_{ab}}$, получаем полевые уравнения Эйнштейна в вакууме.

В обоих теориях полные полевые уравнения могут быть получены путём вариаций полного лагранжиана, так что они обладают действием.

• Классические теории гравитации
• Космология непрерывного рождения вещества, модификация теории Бранса — Дикке, позволяющая неминимально связанному скалярному полю взаимодействовать с веществом.

• P. G. Bergmann. Comments on the scalar-tensor theory (англ.) // Int. J. Theor. Phys. : journal. — 1968. — Vol. 1. — P. 25. — doi:10.1007/BF00668828.
• R. V. Wagoner. Scalar-tensor theory and gravitational waves (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1970. — Vol. D1. — P. 3209.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; & Wheeler, John Archibald. Gravitation (неопр.). — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0.
  См. Box 39.1.
• Will, Clifford M. Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test (англ.). — NY: Basic Books, 1986. — ISBN 0-19-282203-9.
  Chapter 8: "The Rise and Fall of the Brans-Dicke Theory".
• Faroni, Valerio. Illusions of general relativity in Brans-Dicke gravity (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1999. — Vol. D59. — P. 084021.
  Также препринт в ArXiv.
• Faraoni, Valerio. Cosmology in scalar-tensor gravity (неопр.). — Boston: Kluwer, 2004. — ISBN 1-4020-1988-2.
• Carl H. Brans, The roots of scalar-tensor theory: an approximate history (неопр.). ArXiv. Дата обращения: 14 июня 2005.