Гравитационное красное смещение

Гравитационное красное смещение принято обозначать символом ${\displaystyle z_{G}}$ :

${\displaystyle z_{G}={\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\lambda _{0}}}={\frac {\nu _{0}-\nu }{\nu }}}$[1] ,

где:

${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \lambda }$ — измеренная частота и длина волны фотона,

${\displaystyle \nu _{0}}$ и ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — лабораторная частота и длина волны фотона.

Гравитационное красное смещение было предсказано А. Эйнштейном (1911) при разработке общей теории относительности (ОТО), и в слабых гравитационных полях приблизительно равно

${\displaystyle z_{G}={\frac {\varphi -\varphi _{0}}{c^{2}}}={\frac {GM}{c^{2}r}}-{\frac {GM}{c^{2}R}}}$ ,

где:

${\displaystyle z_{G}}$ — относительное смещение спектральных линий под влиянием гравитации,

${\displaystyle \varphi =-{\frac {GM}{R}}}$ и ${\displaystyle \varphi _{0}=-{\frac {GM}{r}}}$ — значения гравитационного потенциала в точках наблюдения и излучения соответственно,

${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная Ньютона;

${\displaystyle M}$ — масса гравитирующего тела,

${\displaystyle c}$ — скорость света,

${\displaystyle r}$ — радиальное расстояние от центра масс тела до точки излучения,

${\displaystyle R}$ — радиальное расстояние от центра масс тела до точки наблюдения.

Для света, излучаемого на расстоянии ${\displaystyle r}$ от центра масс массивного тела и принимаемого на бесконечности (${\displaystyle R=\infty }$), гравитационное красное смещение приблизительно равно:

${\displaystyle z_{G}={\frac {GM}{c^{2}r}}.}$

Поскольку первая космическая скорость на расстоянии ${\displaystyle r}$ от тела массой ${\displaystyle M}$ равна

${\displaystyle V_{I}={\sqrt {\frac {GM}{r}}},}$ то формула для красного смещения может принять следующий вид:

${\displaystyle z_{G}={\frac {V_{I}^{2}}{c^{2}}}.}$

Универсальная формула для изменения частоты, приложимая в любой метрической теории гравитации в условиях применимости приближения геометрической оптики (эйконала):

${\displaystyle {\frac {\nu _{r}}{\nu _{e}}}={\frac {s_{e}}{s_{r}}}={\frac {{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {k}}_{r}}{{\vec {u}}_{e}\cdot {\vec {k}}_{e}}},}$

где

${\displaystyle \nu _{r}}$ и ${\displaystyle \nu _{e}}$ — частоты принятого (recieved) и излучённого (emitted) сигнала, соответственно,

${\displaystyle s_{r}}$ и ${\displaystyle s_{e}}$ — собственные времена колебаний,

${\displaystyle u_{r}}$ и ${\displaystyle u_{e}}$ — 4-скорости приёмника и источника, а

${\displaystyle k_{r}}$ и ${\displaystyle k_{e}}$ представляют собой касательный светоподобный вектор (волновой 4-вектор сигнала), параллельно перенесённый вдоль траектории распространения сигнала[2].

Ослабление энергии света, излучаемого звёздами с сильной гравитацией, было предсказано Джоном Митчеллом ещё в 1783 году, на основе корпускулярного представления о свете, которого придерживался Исаак Ньютон. Влияние гравитации на свет исследовали в своё время Пьер-Симон Лаплас и Иоганн фон Зольднер (1801 год) задолго до того, как Альберт Эйнштейн в статье 1911 года о свете и гравитации вывел свой вариант формулы для этого эффекта.

Филипп Ленард обвинил Эйнштейна в плагиате за то, что он не процитировал более раннюю работу Зольднера — однако, принимая во внимание, насколько эта тема была забыта и заброшена до того момента, как Эйнштейн вернул её к жизни, практически не подлежит сомнению, что Эйнштейн не был знаком с предыдущими работами. В любом случае, Эйнштейн пошёл намного дальше своих предшественников и показал, что ключевым следствием из гравитационного красного смещения является гравитационное замедление времени. Это была очень оригинальная и революционная идея. Эйнштейн впервые предположил, что потерю энергии фотоном при переходе в область с более высоким гравитационным потенциалом можно объяснить через разность хода времени в точках приёма и передачи сигнала. Энергия кванта электромагнитного излучения пропорциональна его частоте согласно формуле ${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$ где ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка. Таким образом, если время для приёмника и передатчика течёт с разной скоростью, наблюдаемая частота излучения, а вместе с ней и энергия отдельных квантов, тоже будет различной для приёмника и передатчика. В 2010 году физикам удалось измерить эффект замедления в лабораторных условиях[3].

• Для наблюдения гравитационного красного смещения приёмник должен находиться в месте с более высоким гравитационным потенциалом, чем источник.

• Существование гравитационного красного смещения подтверждается многочисленными экспериментами, которые год от года проводятся в различных университетах и лабораториях по всему миру.

• Гравитационное красное смещение предсказывается не только в теории относительности. Другие теории гравитации тоже предсказывают гравитационное красное смещение, хотя объяснения могут отличаться.

• Гравитационное красное смещение проявляется, но не ограничивается Шварцшильдовским решением уравнений общей теории относительности — при этом масса ${\displaystyle M}$, указанная ранее, может быть массой вращающегося или заряженного тела.

Эксперимент Паунда и Ребки 1960 года продемонстрировал существование гравитационного красного смещения спектральных линий. Эксперимент был осуществлён в башне Лаймановской лаборатории физики Гарвардского университета с использованием эффекта Мёссбауэра; источник и поглотитель гамма-квантов (ядра железа-57) находились друг от друга на расстоянии 22,5 м по вертикали в гравитационном поле Земли. Относительный сдвиг частоты в этих условиях составлял 2,57⋅10⁻¹⁵.

Гравитационное красное смещение активно применяется в астрофизике. Релятивистская поправка на гравитационное красное смещение вводится в бортовые часы спутников глобальных систем позиционирования GPS и ГЛОНАСС.

Гравитационное замедление времени — физическое явление, заключающееся в изменении темпа хода времени (и, соответственно, часов) в гравитационном потенциале. Основная сложность в восприятии этого обстоятельства состоит в том, что в теориях гравитации временная координата обычно не совпадет с физическим временем, измеряемым стандартными атомными часами.

При использовании формул общей теории относительности для расчёта изменения энергии и частоты сигнала (при условии, что мы пренебрегаем эффектами зависимости от траектории, вызванными, например, увлечением пространства вокруг вращающейся чёрной дыры) гравитационное красное смещение в точности обратно величине фиолетового смещения. Таким образом, наблюдаемое изменение частоты соответствует относительной разности скорости хода часов в точках приёма и передачи.

В то время как гравитационное красное смещение измеряет наблюдаемый эффект, гравитационное замедление времени говорит, что можно заключить на основании результатов наблюдения. То есть, говоря иными словами: измеряя единое красное/фиолетовое смещение для любого способа посылки сигналов «оттуда»—"сюда", мы приходим к выводу, что одинаковые с нашими часы там идут «как-то не так», быстрее или медленнее.

Для статического гравитационного поля, гравитационное красное смещение можно полностью объяснить разностью темпа хода времени в точках с различным гравитационным потенциалом. Процитируем Вольфганга Паули: «В случае статического гравитационного поля всегда можно так выбрать временную координату, чтобы величины g_ik от неё не зависели. Тогда число волн светового луча между двумя точками P1 и P2 также будет независимым от времени и, следовательно, частота света в луче, измеренная в заданной шкале времени, будет одинаковой в P1 и P2 и, таким образом, независимой от места наблюдения.»

Однако согласно современной метрологии время определяют локально для произвольной мировой линии наблюдателя (в частном случае — для одной и той же точки пространства с течением времени) через тождественные атомные часы (см. определение секунды). При таком определении времени темп хода часов строго задан и будет различаться от линии к линии (от точки к точке), в результате чего имеющаяся разность частот, например, в опыте Паунда — Ребки, или красное смещение спектральных линий, излучённых с поверхности Солнца или нейтронных звёзд, находит своё объяснение в разности темпа хода физического времени (измеряемого стандартными атомными часами) между точками излучения и приёма. В самом деле, так как скорость света считается постоянной величиной, то длина волны жёстко связана с частотой ${\displaystyle \lambda =cT=c/\nu }$, поэтому изменение длины волны равносильно изменению частоты и обратно.

Если в некоторой точке излучаются, например, сферические вспышки света, то в любом месте в области с гравитационным полем координатные «временные» интервалы между вспышками можно сделать одинаковыми — путём соответствующего выбора временной координаты. Реальное же изменение измеряемого временного интервала определяется разностью темпа хода стандартных тождественных часов между мировыми линиями излучения и приёма. При этом в статическом случае абсолютно неважно, чем конкретно ведётся передача сигналов: световыми вспышками, горбами электромагнитных волн, акустическими сигналами, пулями или бандеролями по почте — все способы передачи будут испытывать абсолютно одинаковое «красное/фиолетовое смещение»[4].

В нестационарном же случае вообще точным и инвариантным образом отделить «гравитационное» смещение от «доплеровского» невозможно, как например, в случае расширения Вселенной. Эти эффекты — одной природы, и описываются общей теорией относительности единым образом. Некоторое усложнение явления красного смещения для электромагнитного излучения возникает при учёте нетривиального распространения излучения в гравитационном поле (эффекты динамического изменения геометрии, отклонений от геометрической оптики, существования гравитационного линзирования, гравимагнетизма, увлечения пространства и так далее, которые делают величину смещения зависящей от траектории распространения света), но эти тонкости не должны затенять исходной простой идеи: скорость хода часов зависит от их положения в пространстве и времени.

В ньютоновской механике объяснение гравитационного красного смещения принципиально возможно — опять-таки через введение влияния гравитационного потенциала на ход часов, но это очень сложно и непрозрачно с концептуальной точки зрения. Распространённый способ выведения красного смещения как перехода кинетической энергии света ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ в потенциальную в самой основе апеллирует к теории относительности и не может рассматриваться как правильный[5]. В эйнштейновской теории гравитации красное смещение объясняется самим гравитационным потенциалом: это не что иное, как проявление геометрии пространства-времени, связанной с относительностью темпа хода физического времени.

Гравитационное красное смещение является следствием принципа эквивалентности.

Рассмотрим сначала распространение фотона в однородном гравитационном поле вдоль линий напряжённости поля из точки с меньшим потенциалом гравитационного поля в точку с большим потенциалом. Согласно принципу эквивалентности, наличие гравитационного поля напряжённости ${\displaystyle g}$ в инерциальной системе отсчёта эквивалентно ускоренному движению системы отсчёта с ускорением ${\displaystyle -g}$ в отсутствие гравитационного поля. То есть в данном опыте можно заменить наличие поле тяготения предположением о движении источника и приёмника с ускорением ${\displaystyle a=-g}$, которое направлено вверх. Если считать, что излучение волны с частотой ${\displaystyle \nu }$ происходит в тот момент, когда скорость источника равна нулю, то спустя время ${\displaystyle \Delta t={\frac {H}{c}}}$, когда волна достигнет приёмника, его скорость будет равна ${\displaystyle v=g\Delta t={\frac {gH}{c}}}$. При вычислении относительной скорости ${\displaystyle v}$ в формуле эффекта Доплера ${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}={\frac {v}{c}}}$ скорость источника следует брать в момент излучения, а скорость приёмника — в момент прихода волны. Поэтому использование этой формулы показывает, что вследствие эффекта Доплера будет наблюдаться сдвиг частоты, равный

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}=-{\frac {gh}{c^{2}}}.}$

Обобщение этой формулы для случая неоднородного гравитационного поля имеет вид

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}=-\int _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {g(x)}{c^{2}}}dx.}$

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона ${\displaystyle g(x)=G{\frac {M}{x^{2}}}}$. Таким образом

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu }}=-\int _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {G{\frac {M}{x^{2}}}}{c^{2}}}dx=-{\frac {GM}{c^{2}}}\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{0}}}\right).}$

Ускоренная лаборатория, состоящая из источника пуль и приёмника

Гравитационное красное смещение можно получить, используя закон сложения скоростей[6].

Рассмотрим установку, состоящую из источника сигнала (к примеру, пуль) и приёмника. Расстояние между ними, измеренное в неподвижной системе отсчёта, обозначим ${\displaystyle l}$. При этом установка двигается в пустоте с постоянным ускорением ${\displaystyle {\vec {a}}}$ относительно неподвижной системы отсчёта, что, согласно принципу эквивалентности, равнозначно помещению установки в однородное гравитационное поле.

Далее, поместим в приёмник и источник одинаковые часы ${\displaystyle \tau _{out}=\tau _{in}}$, и попросим наблюдателя, который находится в точке «приёмника», сравнить их ход. Своё собственное время ${\displaystyle \tau _{in}}$ он измерит непосредственно, а чтобы измерить ход времени в точке «источника», он будет измерять частоту приходящего сигнала. Скорость пули относительно «источника» обозначим как ${\displaystyle w}$, скорость самого источника в момент посылки сигнала ${\displaystyle v.}$ Тогда, пользуясь законом сложения скоростей, получаем скорость пули ${\displaystyle u}$ в неподвижной системе:

${\displaystyle u={\frac {w+v}{1+wv/c^{2}}}={\frac {c^{2}(w+v)}{c^{2}+wv}}.\qquad (1)}$

На преодоление расстояния ${\displaystyle l}$ сигнал затратит время ${\displaystyle t,}$ а приемник за это время сместится на ${\displaystyle vt+at^{2}/2.}$ Отсюда получаем уравнение:

${\displaystyle ut=l+vt+at^{2}/2,}$

решив которое относительно ${\displaystyle t,}$ получим:

${\displaystyle t={\frac {u-v}{a}}\cdot \left[1\pm \left(1-{\frac {2al}{(u-v)^{2}}}\right)^{-1/2}\right]}$

или приближённо[7]:

${\displaystyle t={\frac {u-v}{a}}\cdot \left[1\pm \left(1+{\frac {la}{(u-v)^{2}}}+\cdots \right)\right].}$

Таким образом, приходим к двум решениям:

${\displaystyle t_{1}=-{\frac {l}{u-v}},\qquad t_{2}=2{\frac {u-v}{a}}+{\frac {l}{u-v}}.}$

Очевидно, что первое решение в данном случае — лишнее.

Подставим ${\displaystyle u}$ из формулы (1) в формулу для ${\displaystyle t}$ и при этом ограничимся ${\displaystyle w}$ и ${\displaystyle v}$ столь малыми, чтобы мы могли отбросить малые члены порядка ${\displaystyle w^{2}}$ и ${\displaystyle v^{2}:}$

${\displaystyle t={\frac {l(c^{2}+wv)}{wc^{2}}}=l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v}{c^{2}}}\right).}$

Скорость установки за время ${\displaystyle \tau }$, разделяющее посылку двух последовательных сигналов[8], увеличится на ${\displaystyle a\tau }$ и станет равной ${\displaystyle v+a\tau }$. Поэтому разница во времени прохождения двух последовательных сигналов составит:

${\displaystyle \Delta t=\Delta \tau =l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v+a\tau _{0}}{c^{2}}}\right)-l\left({\frac {1}{w}}+{\frac {v}{c^{2}}}\right)={\frac {al\tau _{0}}{c^{2}}},}$

и в итоге

${\displaystyle {\frac {\Delta \tau }{\tau _{0}}}={\frac {al}{c^{2}}}\Longleftrightarrow \tau _{1}=\tau _{0}\left(1+{\frac {al}{c^{2}}}\right).}$

Изменениями ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle \tau }$ (функции скорости) мы пренебрегли, как величинами соответствующего порядка малости.

Для частоты получим:

${\displaystyle {\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}={\frac {al}{c^{2}}}\Longleftrightarrow \nu _{1}=\nu _{0}\left(1-{\frac {al}{c^{2}}}\right).}$

Обозначив разность гравитационных потенциалов на поверхности звезды и поверхности Земли как ${\displaystyle \Delta \Phi =-al,}$ получим:

${\displaystyle \tau _{1}=\tau _{0}\left(1-{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}\right);\qquad \nu _{1}=\nu _{0}\left(1+{\frac {\Delta \Phi }{c^{2}}}\right).}$

Эти выражения были выведены Эйнштейном в 1907 году для случая ${\displaystyle \Delta \Phi /c^{2}\ll 1}$[10].

• Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л. Гравитация, фотоны, часы // УФН, 1999, том 169, № 10, с. 1141—1147.
• Паунд Р. В. О весе фотонов // УФН, 1960, № 12, том 73, с. 673—683.
• Laplace, Pierre-Simon. The system of the world (English translation 1809) (англ.). — London: Richard Phillips, 1796. — Vol. 2. — P. 366—368.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald. Gravitation. — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — ISBN 978-0-7167-0344-0.

• Michell, John. On the means of discovering the distance, magnitude etc. of the fixed stars (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society : journal. — 1784. — Vol. 74. — P. 35—57. — doi:10.1098/rstl.1784.0008. — .
• Soldner, Johann Georg von. On the deflection of a light ray from its rectilinear motion, by the attraction of a celestial body at which it nearly passes by (англ.) // Berliner Astronomisches Jahrbuch : journal. — 1804. — P. 161—172.
• Pound, R.V.; Rebka, G.A.; Jr. Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 1959. — Vol. 3, no. 9. — P. 439—441. — doi:10.1103/physrevlett.3.439. — .
• Pound, R.V.; Snider, J.L. Effect of gravity on gamma radiation (англ.) // Physical Review B. — 1965. — Vol. 140, no. 3B. — P. 788—803. — doi:10.1103/physrev.140.b788. — .
• Pound, R.V. Weighing Photons" (2000) (англ.) // Classical and Quantum Gravity. — 2000. — Vol. 17, no. 12. — P. 2303—2311. — doi:10.1088/0264-9381/17/12/301. — .