Биметрические теории гравитации

В общей теории относительности предполагается, что расстояние между двумя точками в пространстве-времени определяется метрическим тензором. Уравнения Эйнштейна используются затем для расчёта формы метрики на основании распределения энергии.

Натан Розен (1940) предложил в каждой точке пространства-времени ввести в дополнение к риманову метрическому тензору ${\displaystyle g_{ij}}$ евклидов метрический тензор ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ . Таким образом, в каждой точке пространства-времени мы получаем две метрики:

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

Первый метрический тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ описывает геометрию пространства-времени и, таким образом, гравитационное поле. Второй метрический тензор ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ относится к плоскому пространству-времени и описывает инерционные силы. Символы Кристоффеля, сформированные из ${\displaystyle g_{ij}}$ и ${\displaystyle \gamma _{ij}}$, обозначим ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ соответственно. ${\displaystyle \Delta }$ определим таким образом, чтобы

${\displaystyle \Delta _{jk}^{i}=\{_{jk}^{i}\}-\Gamma _{jk}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(1)}$

Теперь возникают два вида ковариантного дифференцирования: ${\displaystyle g}$-дифференцирование, основанное на ${\displaystyle g_{ij}}$ — обозначается точкой с запятой (;), и 3-дифференцирование на основе ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ — обозначается символом / (обычные частные производные обозначаются запятой (,)). ${\displaystyle R_{ij\sigma }^{\lambda }}$ и ${\displaystyle P_{ij\sigma }^{\lambda }}$ будут тензорами кривизны, рассчитываемыми из ${\displaystyle g_{ij}}$ и ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ соответственно. На основе вышеизложенного подхода, в том случае, когда ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ описывает плоскую пространственно-временную метрику, тензор кривизны ${\displaystyle P_{ij\sigma }^{\lambda }}$ равен нулю.

Из (1) следует, что хотя ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$ и ${\displaystyle \Gamma }$ не являются тензорами, но ${\displaystyle \Delta }$ — тензор, имеющий такую же форму, как ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$, за исключением того, что обычная частная производная заменяется 3-ковариантной производной. Простой расчёт приводит к

${\displaystyle R_{ijk}^{h}=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}}$

Каждый член в правой стороне этого соотношения является тензором. Видно, что от общей теории относительности, можно перейти к новой теории, заменив ${\displaystyle \{_{jk}^{i}\}}$ на ${\displaystyle \Delta }$, обычное дифференцирование на 3-ковариантное дифференцирование, ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$ на ${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{\gamma }}}}$, элемент интегрирования ${\displaystyle d^{4}x}$ на ${\displaystyle {\sqrt {-\gamma }}d^{4}x}$, где ${\displaystyle g=det(g_{ij})}$, ${\displaystyle \gamma =det(\gamma _{ij})}$ и ${\displaystyle d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}}$. Необходимо отметить, что, как только мы ввели ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ в теорию, то в нашем распоряжении оказывается большое число новых тензоров и скаляров. Таким образом, можно получить уравнения поля, отличающиеся от уравнений поля Эйнштейна.

Уравнение для геодезической в биметрической теории относительности (БТО) принимает форму

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}+\Gamma _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}=0~~~~~~~~~~~~~~(2)}$

Из уравнений (1) и (2) видно, что можно считать, что ${\displaystyle \Gamma }$ описывает инерциальное поле, поскольку ${\displaystyle \Gamma }$ исчезает при помощи подходящего преобразования координат. Свойство же ${\displaystyle \Delta }$ быть тензором не зависит от каких-либо систем координат, и, следовательно, можно полагать, что ${\displaystyle \Delta }$ описывает постоянное гравитационное поле.

Розеном (1973) были найдены биметрические теории, удовлетворяющие принципу эквивалентности. В 1966 г. Розен показал, что введение плоской пространственной метрики в рамках общей теории относительности не только позволяет получить плотность энергии-импульса тензора гравитационного поля, но также позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Уравнение поля в БТО, полученное из вариационного принципа

${\displaystyle K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_{j}^{i}~~~~~~~~~~~~~~(3)}$

где

${\displaystyle N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }}$

или

${\displaystyle N_{j}^{i}=\gamma ^{\alpha \beta }\left\{(g^{hi}g_{hj,\alpha }),\beta -(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}),\beta \right\}-\gamma ^{\alpha \beta }(\Gamma _{j\alpha }^{i}),\beta +\Gamma _{\lambda \beta }^{i}[g^{h\lambda }g_{hj},\alpha -g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }]-\Gamma _{j\beta }^{\lambda }[g^{hi}g_{h\lambda },\alpha -g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}]}$

${\displaystyle +\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }[g^{hi}g_{hj},\lambda -g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}]}$

${\displaystyle N=g^{ij}N_{ij},\kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}},}$

и ${\displaystyle T_{j}^{i}}$ — тензор энергии-импульса. Вариационный принцип приводит также к связи

${\displaystyle T_{j;i}^{i}=0.}$

Поэтому из (3)

${\displaystyle K_{j;i}^{i}=0,}$

что подразумевает, что пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической по отношению к ${\displaystyle g_{ij}}$. Физические следствия такой теории, впрочем, не отличаются от общей теории относительности.

При ином выборе исходных уравнений биметрические теории и ОТО различаются в следующих случаях:

• Распространение электромагнитных волн
• Внешнее поле звёзд высокой плотности
• Распространение интенсивных гравитационных волн через сильное статическое гравитационное поле.

• N. Rosen. General Relativity and Flat Space. I (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 147—150. — doi:10.1103/PhysRev.57.147.
• N. Rosen. General Relativity and Flat Space. II (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1940. — Vol. 57, no. 2. — P. 150—153. — doi:10.1103/PhysRev.57.150.
• N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1973. — Vol. 4, no. 6. — P. 435—447. — doi:10.1007/BF01215403. (недоступная ссылка)
• N. Rosen. A bi-metric theory of gravitation. II (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1975. — Vol. 6, no. 3. — P. 259—268. — doi:10.1007/BF00751570. (недоступная ссылка)