Уравнение Фридмана

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна

${\displaystyle ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\sin ^{2}\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,}$

где ${\displaystyle r=a\cdot \sin \chi }$ — фотометрическое расстояние, ${\displaystyle \chi \in [0,\pi ]}$; ${\displaystyle \theta ,\,\phi }$ — сферические углы; ${\displaystyle \eta }$ — масштабированное время, ${\displaystyle ad\eta =dt}$.

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны

${\displaystyle R_{\chi }^{\chi }=R_{\theta }^{\theta }=R_{\phi }^{\phi }=-{\frac {1}{a^{4}}}(2a^{2}+a'^{2}+aa'')\;,}$

${\displaystyle R_{\eta }^{\eta }={\frac {3}{a^{4}}}(a'^{2}-aa'')\;,}$

${\displaystyle R=-{\frac {6}{a^{3}}}(a+a'')\;,}$

где штрих означает дифференцирование по ${\displaystyle \eta }$.

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен

${\displaystyle T_{ab}=(\epsilon +p)u_{a}u_{b}-pg_{ab}\,,}$

где ${\displaystyle \epsilon }$ плотность энергии, ${\displaystyle p}$—давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна ${\displaystyle u^{a}=\{{\frac {1}{a(t)}},0,0,0\}}$.

Временная компонента уравнения Эйнштейна,

${\displaystyle R_{\eta }^{\eta }-{\frac {1}{2}}R=\kappa {}T_{\eta }^{\eta }\,,}$

с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,

${\displaystyle {\frac {3}{a^{4}}}(a^{2}+a'^{2})=\kappa \epsilon \,.}$

Если связь плотности энергии ${\displaystyle \epsilon }$ и давления ${\displaystyle p}$ (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной ${\displaystyle a}$, используя уравнение сохранения энергии

${\displaystyle d\epsilon =-(\epsilon +p){\frac {3da}{a}}\,.}$

В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,

${\displaystyle \eta =\pm \int {\frac {da}{a{\sqrt {{\frac {1}{3}}\kappa \epsilon a^{2}-1}}}}\,.}$

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна

${\displaystyle ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\sinh ^{2}\chi (d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,}$

где ${\displaystyle r=a\cdot \sinh \chi }$, ${\displaystyle \chi \in [0,\infty ]}$; ${\displaystyle \theta ,\,\phi }$ — сферические углы; ${\displaystyle \eta }$ — масштабированное время, ${\displaystyle ad\eta =dt}$.

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой ${\displaystyle \{a,\eta ,\chi \}\to \{ia,i\eta ,i\chi \}}$.

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть

${\displaystyle {\frac {3}{a^{4}}}(-a^{2}+a'^{2})=\kappa \epsilon \,.}$

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна

${\displaystyle ds^{2}=a(\eta )^{2}\left(d\eta ^{2}-d\chi ^{2}-\chi ^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\right)\,,}$

где ${\displaystyle r=a\chi }$, ${\displaystyle \chi \in [0,\infty ]}$; ${\displaystyle \theta ,\,\phi }$ — сферические углы; ${\displaystyle \eta }$ — масштабированное время, ${\displaystyle ad\eta =dt}$.

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе ${\displaystyle r\ll a\to \infty }$.

Замечая, что ${\displaystyle a'/a^{2}={\dot {a}}/a}$, где ${\displaystyle {\dot {a}}\equiv da/dt}$, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как

${\displaystyle 3{\frac {{\dot {a}}^{2}}{a^{2}}}=\kappa \epsilon \,.}$

В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2},}$

где ${\displaystyle \theta ,\phi }$ — сферические угловые координаты;

${\displaystyle r}$ — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат равна ${\displaystyle 2\pi r;}$

${\displaystyle k}$ — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;

${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.}$