Парадокс Кондорсе

Кондорсе определил правило, по которому сравнение выбираемых альтернатив (кандидатов) производится с учётом полной ординалистской информации о предпочтениях избирателей.

Согласно принципу Кондорсе, для определения истинной воли большинства необходимо, чтобы каждый голосующий проранжировал всех кандидатов в порядке их предпочтения. После этого для каждой пары кандидатов определяется, сколько голосующих предпочитает одного кандидата другому — формируется полная матрица попарных предпочтений избирателей.

На базе этой матрицы, используя транзитивность отношения предпочтения, можно попытаться построить коллективную ранжировку кандидатов.

Приведём численный пример из работы Кондорсе.

Введём для краткости обозначение: ${\displaystyle A\succ B\succ C}$ будет означать, что голосующий предпочитает кандидата A кандидату B, а кандидата B — кандидату С.

Пусть 60 голосующих дали следующие предпочтения:

• 23 человека: ${\displaystyle A\succ C\succ B}$,
• 19 человек: ${\displaystyle B\succ C\succ A}$,
• 16 человек: ${\displaystyle C\succ B\succ A}$,
• 2 человека: ${\displaystyle C\succ A\succ B}$.

При сравнении A с B имеем: 23 + 2 = 25 человек за то, что ${\displaystyle A\succ B}$, и 19 + 16 = 35 человек за то, что ${\displaystyle B\succ A}$. По принципу Кондорсе мнение большинства состоит в том, что В лучше А.

Сравнивая А и С, будем иметь: 23 человека за ${\displaystyle A\succ C}$ и 37 человек за ${\displaystyle C\succ A}$. Отсюда, по Кондорсе, заключаем, что большинство предпочитает кандидата С кандидату А. Аналогично (19 человек за ${\displaystyle B\succ C}$, 41 человек за ${\displaystyle C\succ B}$) С более предпочтителен, чем B.

Таким образом, по Кондорсе воля большинства выражается в виде трёх суждений: ${\displaystyle C\succ B}$; ${\displaystyle B\succ A}$; ${\displaystyle C\succ A}$, которые можно объединить в одно отношение предпочтения ${\displaystyle C\succ B\succ A}$, и если необходимо выбрать одного из кандидатов, то, согласно принципу Кондорсе, следует предпочесть кандидата С.

Сравним этот вывод с возможным исходом голосования по мажоритарной системе относительного или абсолютного большинства.

• Для вышеприведённого примера голосование по системе абсолютного большинства даст такие результаты: за А — 23 человека, за В — 19 человек, за С — 18 человек. Таким образом, в этом случае победит кандидат А.
• При голосовании по системе относительного большинства в два тура кандидаты А и В выйдут во второй тур, где кандидат А получит 25 голосов, а кандидат В — 35 голосов — и победит.

Получаем, что правила игры будут определять победителя, и эти победители будут разными при различных правилах голосования. Согласно второй, широко используемой в мире процедуре победить может кандидат, который при попарном голосовании проиграл бы отсеянному в первом туре кандидату в отношении вплоть до 1 к 1,99… Парадоксальность такой ситуации на реальных выборах иногда путают собственно с парадоксом Кондорсе.[1] Принцип Кондорсе устраняет подобные ошибки, связанные с неполным учётом предпочтений избирателей в первом туре, но может приводить к неразрешимому противоречию.

В другом примере, рассмотренном Кондорсе:

• 1 человек: ${\displaystyle A\succ B\succ C}$,
• 1 человек: ${\displaystyle C\succ A\succ B}$,
• 1 человек: ${\displaystyle B\succ C\succ A}$.

по итогам голосования двумя третями голосов получаем три утверждения: ${\displaystyle B\succ C}$, ${\displaystyle C\succ A}$, ${\displaystyle A\succ B}$. Но вместе эти утверждения противоречивы. В этом и состоит парадокс Кондорсе или парадокс коллективного выбора. Оказывается невозможным определить волю большинства и принять какое-то согласованное решение. Если для оценки согласованности предпочтений этих избирателей применить разработанный позднее коэффициент ранговой корреляции Спирмена, то коэффициенты корреляции между предпочтениями любых двух избирателей из этой тройки отрицательны и равны −0,5[2].

В силу симметрии в таком виде парадокс неразрешим никакими ухищрениями. Но если заменить отдельных избирателей в этом примере на три группы с близким, но не одинаковым числом избирателей, например, 9, 10 и 11, то метод Шульце позволяет формально определить победителя. Хотя парадоксальная цикличность коллективной ранжировки сохраняется.

В другой форме парадокс Кондорсе возникает при постатейном принятии некоторого постановления или закона, когда каждая из статей закона принимается большинством голосов, а поставленный на голосование закон в целом отвергается (иногда даже стопроцентным большинством голосующих). Либо наоборот, вполне возможно, что коллективно будут приняты решения, которые на индивидуальном уровне не поддерживал ни один из голосующих.

Пример. Пусть у нас имеются три человека, голосующих по трём вопросам. Первый из них голосует «да» по первому вопросу, «да» по второму и «нет» по третьему («да»/«да»/«нет»), второй — «да»/«нет»/«да», третий — «нет»/«да»/«да». Суммарный итог голосования подсчитывается как соотношение сумм голосов «да» и «нет» по каждому из вопросов. В рассмотренном случае суммарный итог голосования будет «да»/«да»/«да». Этот итог не отражает мнения ни одного из голосовавших и, естественно, не удовлетворяет никого.

На практике идея Кондорсе о необходимости ранжирования кандидатов реализована в альтернативном голосовании. Данный метод применяется при выборах в различные органы власти Австралии, Новой Зеландии, Папуа — Новой Гвинеи, Фиджи, Ирландии, США, а также в ряде политических партий, неправительственных организаций и т. д.

С парадоксом Кондорсе перекликается идея «антирейтинга» политика. При определении антирейтингов потенциальных избирателей просят назвать не только наиболее, но и наименее поддерживаемые кандидатуры, то есть фактически проранжировать всех кандидатов по степени предпочтения.

• Парадокс Кондорсе
• Альтернативное голосование (с. 103) (недоступная ссылка)

• Arrow K. J. Social Choice and Individual Values, London, 1951
• Granger G. G. La mathématique sociale du Marquis de Condorcet, Paris, 1956
• Sen A. K. Collective Choice and Social Welfare, London, 1970