Парадокс изобретателя

Найти сумму чисел последовательно от 1 до 99:

${\displaystyle 1+2+3+...+97+98+99\,}$

Этот процесс, хотя и не невозможно осуществить в уме, для большинства может оказаться трудным. Однако существует возможность обобщить проблему, в этом случае путём изменения порядка следования слагаемых ряда на:

${\displaystyle (1+99)+(2+98)+(3+97)+...+(48+52)+(49+51)+(50)\,}$

В таком виде пример может быть решён большинством без использования калькулятора[2]. Если заметить, что сумма наименьшего и наибольшего чисел, участвующих в проблеме, — 1 + 99 — равна 100, и что следующая сумма пары наименьшего и наибольшего чисел 2 + 98 также суммируется до 100, можно также понять, что все 49 чисел являются совпадающими парами, и каждая сумма равна 100, за исключением единственного числа в середине — 50. Изобретательный математик переформулирует задачу в уме как ${\displaystyle 49\times 100+50}$. Поскольку ${\displaystyle 49\times 100}$ легко вычислить, добавив 2 нуля к разрядам числа 49: ${\displaystyle 49\times 100+50=4950}$. Хотя текстовое описание этого процесса кажется сложным, каждый из шагов, выполняемых в уме, прост и быстр.

Другой пример присутствует в нескольких приложениях, и его проще всего объяснить, проанализировав относительно простую математическую последовательность[4].

${\displaystyle 1+3=4\,}$

${\displaystyle 1+3+5=9\,}$

и далее в последовательности:

${\displaystyle 1+3+5+7+9=25\,}$

Позволяя последовательности продолжаться до точки, где невозможно быстро найти сумму, мы можем её упростить, обнаружив, что сумма последовательных нечётных чисел выглядит следующим образом[1]:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\mathbf {(} 2k-1)=n^{2}.}$

Долго писать программу, решающую задачу с 25-ю конкретными объектами. Проще решить задачу для n объектов, а затем применить её к случаю, когда n = 25[5].