Отношение предпочтения

Множество допустимых альтернатив, на котором задается отношение предпочтения, может иметь произвольную, не обязательно числовую природу (см., например, Парадокс Кондорсе). Однако чаще всего рассматривают подмножества в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{L}}$, которые описываются числовыми значениями.

Пусть ${\displaystyle l=1,2,...L}$ — доступные блага, которые являются бесконечно делимыми. Каждая альтернатива (потребительский набор) описывается упорядоченным набором ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{L})}$ и может быть отождествлен с точкой пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{L}}$. Множество всех физически допустимых наборов называется множеством допустимых альтернатив. Множество допустимых альтернатив вообще говоря не совпадает с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{L}}$ и может являться его несобственным подмножеством ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{L}}$. Например, можно предположить, что потребитель делает выбор в неотрицательной области ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{L}}$.

Отношение (слабого, нестрогого) предпочтения ${\displaystyle \{\succeq \}}$ является бинарным полным (линейным) отношением предпорядка на множестве допустимых альтернатив ${\displaystyle X}$, то есть обладает свойствами:

1. Полнота: ${\displaystyle \forall x,y\in X,x\succeq y\lor y\succeq x}$
2. Транзитивность: ${\displaystyle \forall x,y,z\in X}$ выполняется ${\displaystyle x\succeq y\land y\succeq z=>x\succeq z}$

Из этих двух свойств непосредственно следует также рефлексивность этого отношения, то есть ${\displaystyle \forall x\in X,x\succeq x}$.

Пара ${\displaystyle (X,\succeq )}$ называется полем преимуществ. Запись ${\displaystyle x\succeq y}$ означает, что потребитель предпочитает набор ${\displaystyle x}$ по сравнению с набором ${\displaystyle y}$ или эти наборы являются равноценными для потребителя; читается так: «${\displaystyle x}$ преобладает над (или не хуже, слабо предпочтительнее) ${\displaystyle y}$», «${\displaystyle x}$ слабо преобладает над ${\displaystyle y}$» или «${\displaystyle x}$ не хуже ${\displaystyle y}$».

Отношение строгого предпочтения ${\displaystyle \{\succ \}}$ определяется как бинарное отношение строгого порядка на множестве допустимых альтернатив. Его можно определить двумя эквивалентными способами:

1. Асимметричность и отрицательная транзитивность:

• Асимметричность, то есть если верно ${\displaystyle x\succ y}$, то неверно ${\displaystyle y\succ x}$
• Отрицательная транзитивность, то есть если одновременно не верно ${\displaystyle x\succ y}$ и ${\displaystyle y\succ z}$, то не верно и ${\displaystyle x\succ z}$

2. Иррефлексивность и транзитивность

• Иррефлексивнность, то есть не существует такого ${\displaystyle x\in X}$, что ${\displaystyle x\succ x}$
• Транзитивность: ${\displaystyle x\succ y\land y\succ z=>x\succ z}$

Запись ${\displaystyle x\succ y}$ означает, что набор ${\displaystyle x}$ для потребителя лучше набора ${\displaystyle y}$, читается как «x строго преобладает над y», «x лучше y».

Отношение безразличия ${\displaystyle \{\sim \}}$ определяется как отношение эквивалентности на множестве допустимых альтернатив, то есть удовлетворяет следующим аксиомам:

• Рефлексивность: ${\displaystyle \forall x,x\sim x}$

• Симметричность: ${\displaystyle \forall x,y,x\sim y<=>y\sim x}$

• Транзитивность: ${\displaystyle \forall x,y,z,x\sim y\land y\sim z<=>x\sim z}$

Запись ${\displaystyle x\sim y}$ означает, что эти наборы являются равноценными для потребителя, читается как «x равноценно y», «x находится в отношении безразличия к y».

Как и любое отношение эквивалентности, отношение безразличия разбивает множество допустимых альтернатив на непересекающиеся классы безразличия, каждый из которых состоит из попарно эквивалентных (безразличных) наборов.

Необходимо отметить, что определённое таким образом отношение безразличия может выделить весьма неоднородные классы эквивалентности. Во-первых, это могут быть реально (с точки зрения потребителя) эквивалентные наборы. Во-вторых, это могут быть несравнимые альтернативы, которые в таком случае формально между ними будет иметь место отношение безразличия (ибо нет критерия по которому можно предпочесть один из несравнимых наборов). В третьих, безразличие также может быть связано с отсутствием достаточной информации об альтернативах.

Система предпочтений (${\displaystyle \sim ,\succ ,\succeq }$), включающая в себя определённые выше отношение безразличия, строгое и нестрогое отношения предпочтения называется неоклассической, если они взаимосвязаны «естественным» образом. В случае, если за основу взять строгое отношение предпочтения, то эту взаимосвязь можно выразить следующим образом.

1. Нестрогое предпочтение эквивалентно отрицанию обратного строгого предпочтения (то есть ${\displaystyle x}$ «не хуже» ${\displaystyle y}$ эквивалентно тому, что ${\displaystyle y}$ не «лучше» ${\displaystyle x}$)

2. Отношение безразличия эквивалентно отрицанию прямого и обратного строгих предпочтений (то есть безразличие означает, что ${\displaystyle x}$ не «лучше» и не «хуже» ${\displaystyle y}$).

Если же за основу брать нестрогое отношение предпочтения, то соответственно.

1. Строгое предпочтение эквивалентно тому, что имеет место нестрогое предпочтение и неверно обратное нестрогое предпочтение, то есть: ${\displaystyle x\succ y<=>x\succeq y\land \lnot (y\succeq x)}$.

2. Отношение безразличия эквивалентно одновременной справедливости «прямого» и «обратного» отношения нестрогого предпочтения: ${\displaystyle x\sim y<=>x\succeq y\land y\succeq x}$

Для неоклассических предпочтений выполнены следующие свойства

• ${\displaystyle \forall x,y\in X}$ выполняется ровно одно из отношений ${\displaystyle x\sim y,x\succ y}$ или ${\displaystyle y\succ x}$.
• ${\displaystyle x\succeq y\land y\succ z=>x\succ z}$
• ${\displaystyle x\succ y\land y\succeq z=>x\succ z}$

Предпочтение, удовлетворяющее свойствам полноты и транзитивности называется рациональным. С интуитивной точки зрения рациональное предпочтение описывает способность потребителя ко внутренне согласованному, непротиворечивому выбору. Оно является необходимым (но не достаточным) условием существования функции полезности.