Асимметричное отношение

Асимметри́чное отноше́ние в математике — бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на некотором множестве ${\displaystyle X,}$ обладающее для любых ${\displaystyle a,b}$ из ${\displaystyle X}$ следующим свойством «невзаимности»[1]: если ${\displaystyle a}$ связано данным отношением с ${\displaystyle b,}$ то ${\displaystyle b}$ не связано с ${\displaystyle a}$. Формальная запись:

${\displaystyle \forall a,b\in X(aRb\Rightarrow \lnot (bRa))}$

Примером может служить отношение «меньше» между вещественными числами: если ${\displaystyle x<y}$, то невозможно, чтобы одновременно ${\displaystyle y<x}$. Напротив, отношение «меньше или равно» не является асимметричным, так как в случае ${\displaystyle x=y}$ верны оба неравенства: ${\displaystyle x\leqslant y;\ y\leqslant x.}$ Другой пример: отношение «быть родителем».

Из определения вытекает, что для непустого асимметричного отношения ${\displaystyle R}$ ситуация ${\displaystyle aRa}$ невозможна ни для какого элемента ${\displaystyle a.}$ Такие отношения называют антирефлексивными (в другой терминологии, иррефлексивными).

Антиподом асимметричного является симметричное отношение, для которого отношение всегда взаимно: если ${\displaystyle aRb,}$ то ${\displaystyle bRa.}$ Единственное бинарное отношение, одновременно симметричное и асимметричное — это пустое отношение.

Не следует путать асимметричное и антисимметричное отношение — последнее не исключает возможности ${\displaystyle aRb}$ и ${\displaystyle bRa}$ одновременно, если ${\displaystyle a=b.}$ Упомянутое выше отношение «меньше или равно» антисимметрично, но не асимметрично. Общее правило[2]: