Целочисленный треугольник

Любая тройка положительных чисел может стать сторонами треугольника, необходимо лишь удовлетворение неравенства треугольника — самая длинная сторона должна быть короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка задаёт единственный (с точностью до конгруэнтности) треугольник. Так что число целочисленных треугольников с периметром p равно числу разбиений p на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника. Эти числа являются ближайшими к ^p2⁄₄₈ для чётных p и к ^{(p + 3)2}⁄₄₈ для нечётных[4][5]. Это также означает, что число целочисленных треугольников с чётным периметром p = 2n равно числу с нечётным периметром p = 2n — 3. Таким образом, нет треугольников с периметрами 1, 2 и 4, имеется по одному с периметрами 3, 5, 6 и 8, и по два с периметрами 7 и 10. Последовательность числа целочисленных треугольников с периметрами p, начиная с p = 1:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 … (последовательность A005044 в OEIS)

Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции^{[неизвестный термин]}) с заданной наибольшей стороной c равно числу троек (a, b, c), таких, что a + b > c и a ≤ b ≤ c. Это значение равно Ceiling[^(c + 1)⁄₂] * Floor[^(c + 1)⁄₂][4]. Для чётных c это равно удвоенному треугольному числу ^c⁄₂(^c⁄₂ + 1), а для нечётных c это равно квадрату ^(c + 1)2⁄₄. Это означает, что число целочисленных треугольников с наибольшей стороной c превышает число целочисленных треугольников с наибольшей стороной c−2 на c. Последовательность числа неконгруэнтных целочисленных треугольников с наибольшей стороной c, начиная с c = 1:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 … (последовательность A002620 в OEIS)

Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнции) с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c), таких, что a + b > c , a² + b² ≤ c² и a ≤ b ≤ c. Это число совпадает с числом целочисленных треугольников с тупым или прямым углом с наибольшей стороной c. Последовательность числа таких треугольников, начинающаяся с c = 1:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 … (последовательность A236384 в OEIS)

Разница между последними двумя последовательностями даёт число целочисленных треугольников с острыми углами (с точностью до конгруэнции) с наибольшей стороной c. Последовательность числа остроугольных треугольников, начиная с c = 1:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 … (последовательность A247588 в OEIS)

По формуле Герона, если T — площадь треугольника, а длины сторон равны a, b и c, то

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

Поскольку все множители под знаком корня в правой части формулы являются целыми числами, все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение величины 16T².

По теореме косинусов любой угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус.

Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен быть 60°.[6] Для целочисленных треугольников оставшиеся углы должны также иметь рациональные косинусы и метод генерации таких треугольников приведён ниже. Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую или гармоническую прогрессию. Это потому, что углы должны быть рациональными углами вида ^πp⁄_q с рациональными 0 < ^p⁄_q < 1. Но все углы целочисленных треугольников должны иметь рациональные косинусы, а это может произойти только в случае, когда ^p⁄_q = ¹⁄₃ [7], то есть целочисленный треугольник является равносторонним.

Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или её продолжение, делит эту сторону (или продолжение) на отрезки рациональной длины.

Геронов треугольник — это треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью. Любой геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные [8].

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$,

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$,

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$,

Полупериметр ${\displaystyle =mn(m+n)}$,

Площадь${\displaystyle =mnk(m+n)(mn-k^{2})}$,

для целых m, n и k, удовлетворяющих условиям

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$,

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1}$.

Множитель пропорции для треугольников в общем случае является рациональным числом  ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ , где  ${\displaystyle q=\gcd {(a,b,c)}}$  сокращает сгенерированный геронов треугольник к примитивному, а  ${\displaystyle p}$  растягивает этот примитивный треугольник до требуемого размера.

Пифагоров треугольник — это прямоугольный геронов треугольник и его три стороны известны как пифагорова тройка[9]. Все примитивные (не имеющие общего множителя) пифагоровы тройки ${\displaystyle (a,b,c)}$ с гипотенузой ${\displaystyle c}$ можно получить с помощью формул

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}}$,

${\displaystyle b=2mn}$,

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$,

Полупериметр${\displaystyle =m(m+n)}$,

Площадь${\displaystyle =mn(m^{2}-n^{2})}$,

где m и n взаимно простые целые и одно из них чётно, при этом m > n.

Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающуюся на гипотенузу, не выражается целым числом. Однако существуют непримитивные пифагоровы треугольники такого вида. Все пифагоровы треугольники с катетами a и b, гипотенузой c, и целой высотой ${\displaystyle d}$, опущенной на гипотенузу, которые необходимо будут удовлетворять равенствам ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ и ${\displaystyle {\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}}$, генерируются формулами[10][11]

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})}$,

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2})}$,

${\displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2}}$,

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2})}$,

Полупериметр=${\displaystyle =m(m+n)(m^{2}+n^{2})}$,

Площадь=${\displaystyle =mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}}$,

для взаимно простых чисел m, n с m > n.

Более того, из любого пифагорова треугольника с катетами x, y и гипотенузой z можно получить другой пифагоров треугольник с целой высотой d на гипотенузу c по формуле[11]

${\displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).}$

Треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью имеет стороны в арифметической прогрессии в том и только в том случае, когда[12] стороны равны (b — d, b, b + d), где

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g}$,

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g}$,

и где g является наибольшим общим делителем чисел ${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ ${\displaystyle 2mn}$ и ${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

Все героновы треугольники с B=2A генерируются [13] либо формулами

${\displaystyle a={\tfrac {k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}}{4}}}$,

${\displaystyle b={\tfrac {k^{2}(s^{4}-r^{4})}{2}}}$,

${\displaystyle c={\tfrac {k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4})}{4}}}$,

Площадь${\displaystyle ={\tfrac {k^{2}csr(s^{2}-r^{2})}{2}}}$,

с целыми k, s, r, такими, что s² > 3r², либо формулами

${\displaystyle a={\tfrac {q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}{4}}}$,

${\displaystyle b=q^{2}uv(u^{2}+v^{2})}$,

${\displaystyle c={\tfrac {q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4})}{4}}}$,

Площадь${\displaystyle ={\tfrac {q^{2}cuv(v^{2}-u^{2})}{2}}}$,

с целыми q, u, v, такими, что v > u и v² < (7+4√3)u².

Никакой геронов треугольник с B = 2A не является равнобедренным или прямоугольным.

Все равнобедренные героновы треугольники получается умножением на рациональное число[14] сторон

${\displaystyle a=2(u^{2}-v^{2})}$,

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2}}$,

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2}}$,

для взаимно простых целых u и v с u>v.

Существуют тетраэдры, имеющие целочисленный объём и героновы треугольники в качестве граней. В качестве примера — тетраэдр с ребром 896, противоположным ребром 990, а оставшиеся четыре ребра по 1073. Две грани этого тетраэдра имеют площадь 436800, две другие — 471240, а объём равен 124185600[15].

• Периметр геронова треугольника всегда является чётным числом[16]. Таким образом, геронов треугольник имеет нечётное число сторон чётной длины[17] и любой примитивный геронов треугольник имеет в точности одну чётную сторону.
• Полупериметр s геронова треугольника со сторонами a, b и c не может быть простым числом. Это видно из того, что s(s-a)(s-b)(s-c) должен быть полным квадратом и в случае простоты s один из множителей должен делиться на s, но это невозможно, поскольку все стороны меньше s.
• Площадь геронова треугольника всегда делится на 6[16].
• Все высоты геронова треугольника являются рациональными числами[2]. Это легко видеть из формулы площади треугольника. Поскольку геронов треугольник имеет целочисленные стороны и площадь, удвоенная площадь, делённая на основание, даст рациональное число. Некоторые героновы треугольники имеют три высоты, не являющиеся целыми числами, например, остроугольный треугольник (15, 34, 35) с площадью 252 и тупоугольный (5, 29, 30) с площадью 72. Любой геронов треугольник с одной или больше нецелочисленной высотой можно преобразовать в подобный геронов треугольник, умножив все стороны на наименьшее общее кратное знаменателей высот.
• Героновы треугольники, не имеющие целочисленной высоты (неразложимые и не пифагоровы), имеют стороны, делящиеся на простые вида 4k+1[18]. Однако разложимые героновы треугольники должны иметь две стороны, являющиеся гипотенузами пифагоровых треугольников. Отсюда — все героновы треугольники, не являющиеся пифагоровыми, имеют по меньшей мере две стороны, делящиеся на простые вида 4k+1. Наконец, все героновы треугольники имеют по меньшей мере одну сторону, делящуюся на простое число вида 4k+1.
• Все отрезки перпендикуляров от середин сторон до другой стороны геронова треугольника являются рациональными числами — для любого треугольника они задаются формулами ${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ и ${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}}$, где стороны a ≥ b ≥ c и площадь равна T[19], а в героновом треугольнике величины a, b, c и T являются целыми числами.
• Не существует равносторонних героновых треугольников[2].
• Не существует героновых треугольников со сторонами 1 или 2[20].
• Существует бесконечно много примитивных героновых треугольников со сторонами a при условии a > 2[20].
• Не существует героновых треугольников со сторонами, образующими геометрическую прогрессию[12].
• Если две стороны геронова треугольника имеют общий делитель, этот делитель должен быть суммой двух квадратов[21].
• Любой угол геронова треугольника имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади треугольника Площадь = (1/2)ab sin C, в которой площадь и стороны a и b являются целыми (и то же самое для других сторон).
• Не существует героновых треугольников, у которых внутренние углы образуют арифметическую прогрессию. Это следует из того, что в случае арифметической прогрессии углов один угол должен равняться 60°, а синус этого угла не рационален[6].
• Любой квадрат, вписанный в геронов треугольник, имеет рациональные стороны — для любого треугольника вписанный квадрат на стороне длины a имеет стороны ${\displaystyle {\tfrac {2Ta}{a^{2}+2T}}}$, где T — площадь треугольника[22]. В героновом треугольнике и T, и a являются целыми числами.
• Любой геронов треугольник имеет рациональный радиус вписанной окружности — для любого треугольника этот радиус равен отношению площади к половине периметра, и обе эти величины в героновом треугольнике рациональны.
• Любой геронов треугольник имеет рациональный радиус описанной окружности — в общем случае радиус равен одной четвёртой произведения сторон, делённой на площадь. В героновом треугольнике стороны и площадь являются целыми числами.

Семейство треугольников с целочисленными сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ и рациональной биссектрисой ${\displaystyle d}$ угла A задаётся уравнениями[24]

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2})}$,

${\displaystyle b=(k-m)^{2}}$,

${\displaystyle c=(k+m)^{2}}$,

${\displaystyle d={\tfrac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}}}$,

с целыми ${\displaystyle k>m>0}$.

Существуют треугольники, в которых три стороны и все три биссектрисы являются целыми числами [25].

Существуют треугольники, в которых три стороны и две трисектрисы каждого угла являются целыми числами[25].

Однако для n>3 не существует треугольников с целочисленными сторонами, в котором (n-1) n-сектрис каждого угла являются целыми числами[25].

Некоторые целочисленные треугольники с углом в вершине A, имеющим рациональный косинус h/k (h<0 или >0; k>0), задаются формулами[26]

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2}}$,

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2}}$,

${\displaystyle c=2qk(p-qh)}$,

где p и q являются взаимно простыми положительными целыми числами, для которых p>qk.

У всех целочисленных треугольников с углом 60° углы образуют арифметическую прогрессию. Все такие треугольники подобны треугольникам[6]

${\displaystyle a=4mn}$,

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2}}$,

${\displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|}$,

со взаимно простыми целыми m, n и 1 ≤ n ≤ m или 3m ≤ n. Все примитивные решения можно получить, разделив a, b и c на наибольший общий делитель.

Целочисленные треугольники с углом 60° можно получить по формулам [27]

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2}}$,

${\displaystyle b=2mn-n^{2}}$,

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2}}$,

со взаимно простыми целыми m, n и с 0 < n < m (угол 60° противоположен стороне длиной a). Все примитивные решения можно получить, разделив a, b и c на наибольший общий делитель (например, равносторонние треугольники можно получить при m = 2 и n = 1, но это даёт a = b = c = 3, а это не примитивное решение). См. также (Burn 2003),(Read 2006).

Тройка Эйзенштейна — это набор целых чисел, которые являются сторонами треугольника, и один из углов этого треугольника равен 60 градусам.

Целочисленные треугольники с углом 120° можно получить с помощью формул [28]

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2}}$,

${\displaystyle b=2mn+n^{2}}$,

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2}}$

со взаимно простыми целыми m, n и 0 < n < m (угол 120° противоположен стороне длиной a). Все примитивные решения можно получить, разделив a, b и c на наибольший общий делитель (например, при m = 4 и n = 1 получаем a = 21, b = 9 и c = 15, и это решение не примитивно, но из него можно получить примитивное решение a = 7, b = 3 и c = 5, разделив на 3. Но это же решение можно получить, приняв m = 2 и n = 1). См. также (Burn 2003),(Read 2006).

Для положительных взаимно простых целых h и k треугольник со сторонами, заданными формулами ниже, имеет углы ${\displaystyle h\alpha }$, ${\displaystyle k\alpha }$ и ${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$, а потому углы находятся в отношении h : k, при этом стороны треугольника являются целыми числами:[29]

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

где ${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}{\frac {p}{q}}}$ и p, q являются взаимно простыми числами, для которых ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$.

Для угла A, противоположного стороне ${\displaystyle a}$, и угла B, противоположного стороне ${\displaystyle b}$, некоторые треугольники с B=2A задаются формулами [30]

${\displaystyle a=n^{2}}$,

${\displaystyle b=mn}$,

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2}}$

с целыми m, n, такими, что 0 < n < m < 2n.

Заметим, что для всех треугольников с B = 2A (с целочисленными сторонами или нет) выполняется[31] ${\displaystyle a(a+c)=b^{2}}$.

Класс эквивалентности подобных треугольников с ${\displaystyle \ B={\tfrac {3}{2}}A}$ задаётся формулами [30]

${\displaystyle a=mn^{3}}$,

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2})}$,

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2}}$

с целыми ${\displaystyle \ m,n}$, такими, что ${\displaystyle \ 0<\varphi n<m<2n}$, где ${\displaystyle \ \varphi }$ является золотым сечением ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803}$.

Заметим, что для всех треугольников с ${\displaystyle \ B={\tfrac {3}{2}}A}$ (с целочисленными сторонами или нет) выполняется ${\displaystyle \ (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}}$.

Мы можем получить все треугольники, удовлетворяющие соотношению углов B=3A, с помощью формул[32]

${\displaystyle a=n^{3}}$,

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2})}$,

${\displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2})}$,

где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ являются целыми числами, для которых ${\displaystyle {\sqrt {2}}n<m<2n}$.

Заметим, что для всех треугольников с B = 3A (с целочисленными сторонами или нет) выполняется ${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a)}$.