Уникальное простое

В теории чисел Уникальное простое число — это определенный вид простых чисел. Простое число p ≠ 2, 5 называется уникальным, если не существует другого простого q, такого что длина периода разложения в десятичную дробь обратной величины, 1⁄p, равна длине периода 1⁄q. Уникальные простые впервые были описаны Самюэлем Йетсом (Samuel Yates) в 1980.

Можно показать, что простое p является уникальным с периодом n тогда и только тогда, когда существует натуральное число c, такое что

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}=p^{c}}$,

где ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ — это n-ый круговой многочлен. В настоящее время известно более пятидесяти уникальных простых или возможно простых. Однако известно только двадцать три уникальных простых, меньших 10¹⁰⁰. Таблица ниже показывает 23 уникальных простых, меньших 10¹⁰⁰ (последовательность A040017 в OEIS) и их периоды (последовательность A051627 в OEIS):

Простое число с периодом 294 похоже на число, обратное 7 (0.142857142857142857…)

Не приведенное в таблице 24-е уникальное простое число содержит 128 знаков и период длиной 320. Оно может быт записано как (9₃₂0₃₂)₂ + 1, где индекс n означает n последовательных копий цифры или группы цифр, находящихся перед индексом.

Хотя уникальные простые числа редки, существует основывающаяся на изучении простых, состоящих из одной цифры, и возможно простых гипотеза о бесконечном числе уникальных простых (любой простой репьюнит уникален).

На 2010 год репьюнит (10²⁷⁰³⁴³−1)/9 — наибольшее из известных возможно уникальных простых чисел.[1]

В 1996 году наибольшим проверенным уникальным простым было (10¹¹³² + 1)/10001, или, используя использованную выше запись, (99990000)₁₄₁+ 1. Его период равен 2264. Рекорд был с тех пор несколько раз улучшен. К 2010 году наибольшее проверенное уникальное простое число имело 10,081 знаков.[2]