Метод kp

Непрерывная линия: схематичное изображение блоховской волны (только реальная часть) в одномерном случае. Линия точками — вклад от экспоненциального множителя e^ik·r. Круги изображают атомы.

Согласно квантовой механике (в одноэлектронном приближении) квазисвободные электроны в любом твердом теле характеризуются волновыми функциями, которые являются собственными состояниями следующего стационарного уравнения Шредингера:

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V\right)\psi =E\psi }$

где p — квантовомеханический оператор импульса, V — потенциал, m — масса электрона. (Это уравнение пренебрегает спин-орбитальным эффектом).

В кристаллическое твердом теле, V является периодической функцией, с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Теорема Блоха утверждает, что решения этого дифференциального уравнения можно записать в следующем виде:

${\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

где k — вектор (называемый волновым вектором), n — дискретный индекс (называемый зонным индексом), а u_n,k — функция с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка.

Для любого заданного n ассоциированные состояния называются зоной. В каждой зоне будет существует связь между волновым вектором k и энергией состояния E_n,k, называемым законом дисперсии. Вычисление этой дисперсии является одним из основных применений k·p теории возмущений.

Современный вид теория приобрела в работах Кейна который рассмотрел теорию возмущений для узкозонных полупроводников[3]. Периодическая функция u_n,k удовлетворяет следующему уравнению типа Шредингера:[4]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }}$

где гамильтониан равен

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V}$

Заметим, что k — вектор, состоящий из трех вещественных чисел с размерностью обратной длины, а p — вектор состоящий из операторов. В явном виде,

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} =k_{x}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}})+k_{y}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}})+k_{z}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}})}$

В любом случае этот гамильтониан записывается в виде суммы двух слагаемых:

${\displaystyle H=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}}$

Это выражение является основой для теории возмущений. «Невозмущенный гамильтониан» равен H₀, что фактически равен точному гамильтониану при k = 0 (то есть в точке Гамма). «Возмущение» ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$. Анализ этих результатов называется «k · ​​p теорией возмущений» из-за члена, пропорционального k · p. Результатом этого анализа является выражение для E_n,k и u_n,k в терминах энергий и волновых функций при k = 0.

Заметим, что вклад «возмущения» ${\displaystyle H_{\mathbf {k} }'}$ становится все меньше, когда k приближается к нулю. Поэтому k · p теория возмущений наиболее точна при малых значениях k. Однако, если в разложение теоории возмущений включено достаточное количество членов, то теория может быть достаточно точна для любого значения k, то есть во всей зоне Бриллюэна. Если минимум зоны проводимости находится в другой точке, например k₀, то выражение для гамильтониана можно модифицировать для этого случая[5]:

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{\mathbf {k} _{0}}+\left[{\frac {\hbar }{m_{e}}}(\mathbf {k} -\mathbf {k} _{0})\cdot (\hbar \mathbf {k} _{0}-i\hbar \mathbf {\nabla } )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}|\mathbf {k} -\mathbf {k} _{0}|^{2}\right],}$

где

${\displaystyle H_{\mathbf {k} _{0}}=H_{0}+{\frac {i\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\mathbf {k} _{0}\cdot \mathbf {\nabla } +{\frac {\hbar ^{2}k_{0}^{2}}{2m_{e}}}.}$

Слагаемые содержащие k-k₀в этом случае малые поправки, которые являются возмущением.

Для невырожденной зоны (то есть, для зоны, энергия которой в точке k=0 отличается от энергии любой другой зоны) с экстремумом в k=0, и при отсутствии спин-орбитального взаимодействия, k · p метод в первом нетривиальном порядке теории возмущений дает[4]:

${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0},}$

${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}},}$

где ${\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }}$ и ${\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }}$ — волновая функция и энергия квазичастицы в n-й зоне с волновым вектором k, соответственно, а ${\displaystyle u_{n,0}}$ и ${\displaystyle E_{n,0}}$ — аналогичные значения для квазичастицы с нулевым квазиимпульсом.

Поскольку k — действительный вектор, то есть набор чисел, а не оператор, матричные элементы переписываются как:

${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle .}$

Так можно вычислить энергию при любом k, используя только несколько неизвестных параметров: E_n,0 и ${\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }$. Матричные элементы, заданые последним выражением, родственны дипольным моментам перехода. Их называют оптическими матричным элементами и обычно получают из анализа экспериментальных данных, таких как оптическое поглощение[6].

Практически сумма по n' часто ограничивается только двумя соседними зонами, поскольку их вклад важнейший (учитывая знаменатель). Однако, для повышения точности, особенно при больших k, необходимо учитывать несколько зон, а кроме того еще и дополнительные порядки теории возмущений.

С учетом спин-орбитального взаимодействия уравнения Шредингера для u принимает вид[11]:

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} },}$

где[12]

${\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}.}$

здесь ${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$ матрицы Паули. С этим гамильтонианом можно работать аналогично изложенному выше.

Для вычисления вырожденных или близких зон, в частности для валентной зоны в материалах вроде арсенида галлия, уравнение можно анализировать, используя подходящий вариант теории возмущений[4][11]. К моделям этого типа относятся модель Латтиджера-Кона[13] и модель Кейна.[12].