Приближение почти свободных электронов

Гамильтониан, что описывает движение электрона в потенциальном поле ядер атомов в приближении среднего поля задаётся формулой

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )}$,

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, m — масса электрона,${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ — периодический потенциал, который учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решёткой и другими электронами.

Волновую функцию электрона, которая должна удовлетворять теореме Блоха, можно искать в виде разложения в ряд Фурье

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\sum _{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} +\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$,

где ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — волновой вектор, ${\displaystyle \mathbf {G} }$ — вектор обратной решётки.

Если потенциал ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ малый по величине по сравнению с кинетической энергией электрона, то движение электронов можно считать почти свободным. Энергия электрона задаётся формулой

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}.}$

Эта формула справедлива всюду в зоне Бриллюэна, кроме того случая, когда волновая функция поступательного движения электрона будет интерферировать с волной, рассеянной на периодическом потенциале. Такая ситуация складывается тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {k} \approx \mathbf {G} /2}$. В этой области волновых векторов используется приближение, согласно которому амплитуды прямой и рассеянной волны определяются системой уравнений:

${\displaystyle \left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} }+V_{\mathbf {-G} }a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0}$,

${\displaystyle \left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }+V_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} }=0}$,

где ${\displaystyle V_{\mathbf {G} }}$ — коэффициенты разложения потенциала в ряд Фурье. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение при выполнении условия

${\displaystyle \left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)-V_{\mathbf {G} }V_{\mathbf {-G} }=0}$,

что задаёт закон дисперсии электронных состояний на границе зоны Бриллюэна. Непосредственно на границе (${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{2}/2}$)

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}\pm |V_{\mathbf {G} }|}$.

В промежутке энергий между ${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}-|V_{\mathbf {G} }|}$ и ${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}+|V_{\mathbf {G} }|}$ электронных уровней нет, чем определяется существование узкой запрещённой зоны.

• Одноэлектронное приближение
• Приближение сильно связанных электронов

Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников (неопр.). — Москва: Наука., 1978.