Метод функции Грина

Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Решение через функцию Грина применяется в краевых задачах для уравнений эллиптического типа[1].

В физике метод находит применение при решении задачи об отклике физической системы на выводящее её из равновесия внешнее воздействие. В соответствии с принципом причинности, состояние системы полностью определяется её предысторией. Таким образом, для поиска состояния системы в данный момент требуется решить эволюционную задачу и возникающие в ней дифференциальные уравнения.

Если отклонение системы от состояния равновесия мало, то малы и нелинейные члены соответствующего разложения, значит реакцию системы можно изучать в рамках линейных уравнений. Поскольку основное состояние большинства рассматриваемых систем не меняется со временем, то возникающие уравнения имеют постоянные коэффициенты.

Уравнение с постоянными коэффициентами

Одномерное уравнение n-го порядка

Если для, в общем случае, полиномиального дифференциального оператора:

задано уравнение:

,

то функция Грина оператора определяется решением:

где  — дельта-функция Дирака. Так как не зависят от времени, вид уравнения при замене не меняется (соблюдается однородность по времени), поэтому функция Грина зависит от одного параметра: .

Согласно свойствам дельта-функции, верно равенство:

.

Тогда, при рассмотрении в предположении, что начальные условия за бесконечное время забываются, непосредственной подстановкой проверяется, что решением уравнения будет:

Функция Грина таким образом определяет для момента времени влияние «ударного» воздействия на систему, прошедшего в момент времени .

Однако, функция Грина может быть выбрана неоднозначно, с точностью до решения однородного (с нулевой правой частью) заданного уравнения. Принцип причинности же гласит, что система реагирует на воздействие приложенное в прошлом, но не в будущем. То есть при .

Это ограничение обозначается с помощью функции Хевисайда и функция Грина ищется в виде:

,

где является решением заданного однородного уравнения и зависит от постоянных.

В случае, когда не вырожден, будет иметь вид:

.

В силу свойств дельта-функции и её производных, а также некоторой симметрии бинома Ньютона:

Это приводит к:

.

Так как члены, удовлетворяющие заданному однородному уравнению, сокращаются, то:

.

В этом случае уже возможно найти функцию Грина однозначно.

Если полагать, что для времени , когда началась эволюция системы, были заданы начальные условия, то уравнение перепишется:

.

Тогда:

,

лишь последнее слагаемое здесь является вынужденным решением, вызываемым внешним воздействием.

Многомерное уравнение 1-го порядка

Ниже рассматривается линейное уравнение для векторной величины , где  — матрица, определяющая динамику системы:

.

К такому виду сводится рассмотренное уравнение -го порядка для скалярной величины . Для этого следует положить, что:

для начинающейся с единицы нумерации компонент.

Аналогично предыдущему случаю, решение записывается в виде:

.

Функция Грина, удовлетворяющая условию:

,

ищется, в свою очередь, в виде:

.

Экспоненту от матрицы принято рассматривать при переходе к собственному базису оператора , где тот либо диагонален, либо содержит клетки Жордана (в случае вырожденных собственных значений).

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа эволюционного уравнения позволяет свести процедуру решения к интегрированию в комплексной плоскости.

Преобразование для для полиномиального оператора запишется

Где , а — соответствующий оператору многочлен, содержащий вместо n-й производной n-ю степень s.

Тогда, по свойству преобразования Лапласа для свёртки:

Где — преобразования Лапласа для соответственно.

После обратного преобразования:

Интеграл, в силу возможности сдвигать контур влево, в частности, считается использованием теоремы о вычетах. Таким образом, преобразование Лапласа указывает прямой путь к нахождению вынужденного решения. Описанное справедливо и для многомерного уравнения, с тем замечанием, что придётся использовать матричную функцию.

Неоднородное по времени уравнение

Если система не находится в равновесии, то её состояние меняется со временем, что выражается во временной зависимости коэффициентов. Это значит, что функция Грина зависит от обоих переменных:

и решение для:

перепишется:

.

При постоянном уравнение приобретает прежний вид.

В случае векторного уравнения:

матрицы в различные моменты времени, вообще говоря, не коммутируют, поэтому решение запишется с помощью хронологически упорядоченной экспоненты:

.

Примечания

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.