Метод функции Грина

Если для, в общем случае, полиномиального дифференциального оператора:

${\displaystyle L=a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}+a_{0}}$

задано уравнение:

${\displaystyle Lx(t)=\phi (t)\qquad }$,

то функция Грина ${\displaystyle G}$ оператора ${\displaystyle L}$ определяется решением:

${\displaystyle LG(t,t')=\delta (t-t')}$

где ${\displaystyle \delta }$ — дельта-функция Дирака. Так как ${\displaystyle a_{i}}$ не зависят от времени, вид уравнения при замене ${\displaystyle t\rightarrow t-t'}$ не меняется (соблюдается однородность по времени), поэтому функция Грина зависит от одного параметра: ${\displaystyle G(t,t')\equiv G(t-t')}$.

Согласно свойствам дельта-функции, верно равенство:

${\displaystyle \int LG(t-t')\phi (t')\,dt'=\int \delta (t-t')\phi (t')\,dt'=\phi (t)}$.

Тогда, при рассмотрении ${\displaystyle t\in (-\infty ,\infty )}$ в предположении, что начальные условия за бесконечное время забываются, непосредственной подстановкой проверяется, что решением уравнения будет:

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }dt'\,G(t-t')\phi (t')}$

Функция Грина таким образом определяет для момента времени ${\displaystyle t}$ влияние «ударного» воздействия на систему, прошедшего в момент времени ${\displaystyle t'}$.

Однако, функция Грина может быть выбрана неоднозначно, с точностью до решения однородного (с нулевой правой частью) заданного уравнения. Принцип причинности же гласит, что система реагирует на воздействие приложенное в прошлом, но не в будущем. То есть ${\displaystyle G(t,t')=0}$ при ${\displaystyle t<t'}$.

Это ограничение обозначается с помощью функции Хевисайда ${\displaystyle \theta (t)}$ и функция Грина ищется в виде:

${\displaystyle G(t)=\theta (t)f(t)}$,

где ${\displaystyle f(t)}$ является решением заданного однородного уравнения и зависит от ${\displaystyle n-1}$ постоянных.

В случае, когда ${\displaystyle L}$ не вырожден, ${\displaystyle f(t)}$ будет иметь вид:

${\displaystyle f(t)=\sum _{i}b_{i}\exp(-z_{i}t)}$.

В силу свойств дельта-функции и её производных, а также некоторой симметрии бинома Ньютона:

${\displaystyle \int dt{\Big (}\theta (t)f(t){\Big )}^{(n)}=f^{(n-1)}(0)+\int dt\,\theta (t)f(t)}$

Это приводит к:

${\displaystyle \int dt\,LG(t)=\int dt\,\delta (t)\;\Leftrightarrow \;\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}f^{(k)}(0)=1}$.

Так как члены, удовлетворяющие заданному однородному уравнению, сокращаются, то:

${\displaystyle {\frac {d^{(n-1)}}{dt^{(n-1)}}}f(0)=1/a_{n};\;{\frac {d^{(k)}}{dt^{(k)}}}f(0)=0,\;k=0,1,\ldots ,n-2}$.

В этом случае уже возможно найти функцию Грина однозначно.

Если полагать, что для времени ${\displaystyle t=0}$, когда началась эволюция системы, были заданы начальные условия, то уравнение перепишется:

${\displaystyle Lx(t)=\phi (t)+\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)\delta ^{(n-1-k)}(t)}$.

Тогда:

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)G^{(n-k-1)}(t)+\int _{0}^{t}dt'\,G(t-t')\phi (t)}$,

лишь последнее слагаемое здесь является вынужденным решением, вызываемым внешним воздействием.

Ниже рассматривается линейное уравнение для векторной величины ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$, где ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}}$ — матрица, определяющая динамику системы:

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(t)+{\hat {\Gamma }}{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {\chi }}(t)}$.

К такому виду сводится рассмотренное уравнение ${\displaystyle n}$-го порядка для скалярной величины ${\displaystyle x}$. Для этого следует положить, что:

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{i}(t)=x^{(i-1)}(t)}$

для начинающейся с единицы нумерации компонент.

Аналогично предыдущему случаю, решение записывается в виде:

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,{\hat {G}}(t-t'){\boldsymbol {\chi }}(t')}$.

Функция Грина, удовлетворяющая условию:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right){\hat {G}}(t)={\hat {1}}\,\delta (t)}$,

ищется, в свою очередь, в виде:

${\displaystyle {\hat {G}}(t)=\theta (t)\exp(-{\hat {\Gamma }}t)}$.

Экспоненту от матрицы принято рассматривать при переходе к собственному базису оператора ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}}$, где тот либо диагонален, либо содержит клетки Жордана (в случае вырожденных собственных значений).

Преобразование Лапласа эволюционного уравнения позволяет свести процедуру решения к интегрированию в комплексной плоскости.

Преобразование для ${\displaystyle LG(t)=\delta (t)}$ для полиномиального оператора ${\displaystyle L}$ запишется

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{LG(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{\delta (t)\right\}\;\Leftrightarrow \;L(s){\widetilde {G}}(s)=1\;\Rightarrow \;{\widetilde {G}}(s)={\frac {1}{L(s)}}}$

Где ${\displaystyle {\widetilde {G}}(s)={\mathcal {L}}\{G(t)\}}$, а ${\displaystyle L(s)}$ — соответствующий оператору ${\displaystyle L}$ многочлен, содержащий вместо n-й производной n-ю степень s.

Тогда, по свойству преобразования Лапласа для свёртки:

${\displaystyle {\tilde {x}}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int dt\,G(t-t')\phi (t)\right\}={\frac {{\tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}}$

Где ${\displaystyle {\tilde {x}}(s),\,{\tilde {\phi }}(s)}$ — преобразования Лапласа для ${\displaystyle x(t),\,\phi (t)}$ соответственно.

После обратного преобразования:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }ds\,e^{st}{\frac {{\tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}}$

Интеграл, в силу возможности сдвигать контур влево, в частности, считается использованием теоремы о вычетах. Таким образом, преобразование Лапласа указывает прямой путь к нахождению вынужденного решения. Описанное справедливо и для многомерного уравнения, с тем замечанием, что придётся использовать матричную функцию.