Кривая Бринга

Кривая Бринга может быть получена как поверхность Римана путём отождествления сторон гиперболического двадцатиугольника (см. фундаментальный многоугольник), его рисунок приведён справа. Двадцатиугольник (площади ${\displaystyle 12\pi }$, по формуле Гаусса — Бонне) может быть выложен с помощью 240 (2,4,5) треугольников. Действия, которые переносят один из этих треугольников в другой дают полную группу автоморфизмов поверхности (включая отражения). Если игнорировать отражения, получим 120 автоморфизмов, упомянутых выше. Заметим, что 120 меньше 252, максимального числа сохраняющих ориентацию автоморфизмов, возможных для поверхности рода 4 согласно теореме Гурвица об автоморфизмах. Поэтому поверхность Бринга не является поверхностью Гурвица. Это также говорит о том, что не существует поверхности Гурвица рода 4.

Фундаментальный двадцатиугольник поверхности Бринга, дополненный отождествлениями сторон.

Полная группа симметрий имеет следующее представление:

${\displaystyle \langle r,\,s,\,t\,|\,r^{5}=s^{2}=t^{2}=rtrt=stst=(rs)^{4}=(sr^{3}sr^{2})^{2}=e\rangle }$,

где ${\displaystyle e}$ есть тождественное действие, ${\displaystyle r}$ является вращением порядка 5 вокруг центра фундаментального многоугольника, ${\displaystyle s}$ является вращение порядка 2 в вершине, где 4 (2,4,5) треугольника встречаются в мозаике, а ${\displaystyle t}$ является отражение относительно вещественной оси. Исходя из этого представления информация о линейном представлении группы симметрии поверхности Бринга может быть вычислено с помощью GAP. В частности, группа имеет четыре одномерных, четыре четырёхмерных, четыре пятимерных и два шестимерных неприводимых представления и мы имеем

${\displaystyle 4(1^{2})+4(4^{2})+4(5^{2})+2(6^{2})=4+64+100+72=240}$

как и ожидалось.

Систола поверхности имеет длину

${\displaystyle 12\sinh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}}\right)\approx 4{,}60318.}$

Аналогично квартике Клейна поверхность Бринга не максимизирует длину систолы среди компактных римановых поверхностей в своей топологической категории (то есть среди поверхностей, имеющих тот же род), несмотря на максимизацию размера группы автоморфизмов. Систола (по видимому) максимизируется поверхностью, обозначенной как M4 в статье Шмутца[2]. Длина систолы M4 равна

${\displaystyle 2\cosh ^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}(5+3{\sqrt {3}})\right)\approx 4{,}6245,}$

и имеет кратность 36.

Мало что известно о спектре поверхности Бринга, однако это направление исследований может представлять интерес. Поверхность Больцы и квартика Кляйна имеют наибольшие группы симметрии среди компактных римановых поверхностей отрицательной кривизны рода 2 и 3 соответственно, а тогда была высказана гипотеза что они максимизируют первое положительное собственное значение в спектре лапласиана. Имеется сильное числовое свидетельство в поддержку этой гипотезы, в частности, в случае поверхности Больцы, хотя строгое доказательство остаётся открытой проблемой. Согласно этому можно обоснованно высказать гипотезу, что поверхность Бринга максимирует первое положительное собственное значение оператора Лапласа (среди поверхностей в топологическом классе).

• Поверхность Больцы
• Квартика Клейна
• Поверхность Макбита
• Первая тройка Гурвица