Изолированная точка кривой

Изолированная точка кривой (англ. acnode) — тип особой точки, координаты которой удовлетворяют уравнению алгебраической кривой.[1]

Изолированная точка в начале координат (кривая описана в тексте статьи)

Изолированные точки обычно находят при изучении плоских алгебраических кривых над не алгебраически замкнутыми полями, определяемых как множество нулей многочлена от двух переменных. Например, уравнение

${\displaystyle f(x,y)=y^{2}+x^{2}-x^{3}=0\;}$

имеет изолированную точку в начале координат ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, поскольку оно эквивалентно

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)}$

а ${\displaystyle x^{2}(x-1)}$ неотрицательно при ${\displaystyle x}$ ≥ 1 или ${\displaystyle x=0}$. Таким образом, над полем вещественных чисел уравнение не имеет решений для ${\displaystyle x<1}$, за исключением (0, 0).

В отличие от вещественного поля уравнение над полем комплексных чисел не имеет изолированной точки в начале координат, поскольку квадратный корень из отрицательных чисел существует.

Изолированная точка является особой точкой функции: обе частные производные ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ обращаются в этой точке в ноль. Более того матрица Гессе вторых производных будет положительно опредёлённой или отрицательно определённой.