Гипотеза Морделла

Пусть ${\displaystyle C}$ — неособая алгебраическая кривая над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Множество рациональных точек кривой ${\displaystyle C}$ зависит от её рода ${\displaystyle g}$ следующим образом:

• Случай ${\displaystyle g=0}$: рациональных точек нет, либо их бесконечно много; ${\displaystyle C}$ является коническим сечением.
• Случай ${\displaystyle g=1}$: рациональных точек нет, либо ${\displaystyle C}$ является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу. Это следует из теоремы Морделла, позднее обобщённой до теоремы Морделла — Вейля. Кроме того, теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.
• Случай ${\displaystyle g>1}$: согласно выдвинутой Морделлом гипотезе, ${\displaystyle C}$ может иметь лишь конечное число рациональных точек.

В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род ${\displaystyle g>1}$, поле определения ${\displaystyle K}$ и множество точек плохой редукции ${\displaystyle S}$. В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.

В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю гипотезы Тейта и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию моделей Нерона.

Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Паулем Войта. Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

• Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек.
• Гипотезу Шафаревича о существовании лишь конечного, с точностью до изоморфизма, множества абелевых многообразий заданных размерности и степени поляризации над фиксированным числовым полем, имеющих хорошую редукцию всюду вне заданного конечного множества точек этого поля.
• Теорему об изогении абелевых многообразий, имеющих изоморфные модули Тейта.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного ${\displaystyle n\geq 4}$ существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$, поскольку для таких n кривая Ферма ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$ имеет род, больший 1.

В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой ${\displaystyle C}$ с конечнопорождённой подгруппой ${\displaystyle \Gamma }$ абелева многообразия ${\displaystyle A}$. Заменяя ${\displaystyle C}$ на произвольное подмногообразие ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \Gamma }$ на произвольную подгруппу конечного ранга ${\displaystyle A}$, мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если ${\displaystyle X}$ — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем ${\displaystyle k}$, то множество ${\displaystyle k}$-рациональных точек ${\displaystyle X(k)}$ нигде не плотно в топологии Зарисского в ${\displaystyle X}$. Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. Коулман в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.

• Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
• Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
• А. Ю. Вайнтроб, А. Б. Сосинский. «Доказательство гипотезы Морделла». — Квант, 1984. — № 3.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

• Bombieri, Enrico. The Mordell conjecture revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.. — 1990. — Т. 17, № 4. — С. 615—640.
• Coleman, Robert F. Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields (англ.) // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe Serie : journal. — 1990. — Vol. 36, no. 3. — P. 393—427. — ISSN 0013-8584. Архивировано 2 октября 2011 года.. — «Шаблон:Inconsistent citations». Архивная копия от 2 октября 2011 на Wayback Machine
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Arithmetic geometry. — New York: Springer, 1986. — ISBN 0-387-96311-1. > Contains an English translation of Faltings (1983)
• Faltings, Gerd. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern (нем.) // Inventiones Mathematicae : magazin. — 1983. — Bd. 73, Nr. 3. — S. 349—366. — doi:10.1007/BF01388432.
• Grauert, Hans. Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper (нем.) // Publications Mathematiques de l'IHES : magazin. — 1965. — Nr. 25. — S. 131—149. — ISSN 1618-1913.. — «Шаблон:Inconsistent citations».
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. — Springer-Verlag, 2000. — Т. 201. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98981-1. > Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
• S. Lang Survey of Diophantine geometry. — Springer-Verlag, 1997. — С. 101—122. — ISBN 3-540-61223-8.
• Manin, Ju. I. Rational points on algebraic curves over function fields (англ.) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya : journal. — 1963. — Vol. 27. — P. 1395—1440. — ISSN 0373-2436.. — «Шаблон:Inconsistent citations».
• Mordell, Louis J. On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees (англ.) // Proc. Cambridge Philos. Soc. : journal. — 1922. — Vol. 21. — P. 179—192.. — «».
• Parsin, A. N. Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Tome 1. — Gauthier-Villars, 1971. — С. 467—471.
• Parshin, A. N. (2001), M/m064910, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4