Формула Плюккера

Кривая в этом контексте задаётся невырожденным алгебраическим уравнением в комплексной проективной плоскости. Прямые в этой плоскости соответствуют точкам дуальной проективной плоскости, а прямые, касательные к данной алгебраической кривой C, соответствуют точкам на алгебраической кривой C^*, называемой дуальной кривой. Точки же кривой C соответствуют прямым, касательным к C^*, так что дуальной кривой для C^* будет C.

Первые два инварианта, участвующие в формулах Плюккера — это степень d кривой C и степень d^*, называемая классом кривой C. Геометрически d — это число точек пересечения произвольной прямой и C, включая комплексные точки и бесконечно удалённые точки с учётом кратности. Класс d^* — это число касательных к C, проходящих через произвольную точку плоскости. Например, коническое сечение имеет и степень, и класс 2. Если у кривой C нет особых точек, первая формула Плюккера утверждает, что

${\displaystyle d^{*}=d(d-1),}$

но для кривых с особыми точками формулу нужно подправить.

Пусть δ — число обыкновенных двойных точек кривой C, то есть имеющих различные касательные (такие точки называются точками самопересечения) или изолированных, а κ — число каспов, то есть точек, имеющих единственную касательную. Если кривая C имеет особенности более высокой степени, то они рассматриваются как несколько особых точек, согласно анализу природы особенности. Например, обыкновенная тройная точка считается как три двойных точки. Опять же, мнимые точки и точки на бесконечности также учитываются. Уточнённая форма первого равенства Плюккера имеет вид

${\displaystyle d^{*}=d(d-1)-2\delta -3\kappa .}$

Подобным образом, пусть δ^* — число обыкновенных двойных точек, а κ^* — число каспов кривой C^*. Вторая формула Плюккера утверждает, что

${\displaystyle \kappa ^{*}=3d(d-2)-6\delta -8\kappa .}$

Геометрически обыкновенная двойная точка кривой C^* — прямая, касающаяся кривой в двух точках (бикасательная), а касп кривой C^* — точка перегиба.

Первые два уравнения Плюккера имеют двойственные версии:

${\displaystyle d=d^{*}(d^{*}-1)-2\delta ^{*}-3\kappa ^{*},}$

${\displaystyle \kappa =3d^{*}(d^{*}-2)-6\delta ^{*}-8\kappa ^{*}.}$

Эти четыре равенства, фактически, не являются независимыми, так что любые три могут быть использованы для вывода четвёртого. Если заданы любые три из шести инвариантов d, d^*, δ, δ^*, κ и κ^*, то остальные три можно по ним вычислить.

Наконец, геометрический род кривой C можно определить по формуле

${\displaystyle g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta -\kappa .}$

Это равенство эквивалентно двойственному

${\displaystyle g={1 \over 2}(d^{*}-1)(d^{*}-2)-\delta ^{*}-\kappa ^{*}}$.

Всего мы имеем четыре независимых уравнения с семью неизвестными, и при задании трёх неизвестных остальные четыре могут быть вычислены.

Важный частный случай — когда кривая C не имеет особых точек, то есть δ и κ равны 0, так что оставшиеся инварианты можно вычислить в терминах исключительно d:

${\displaystyle d^{*}=d(d-1)}$

${\displaystyle \delta ^{*}={1 \over 2}d(d-2)(d-3)(d+3)}$

${\displaystyle \kappa ^{*}=3d(d-2)}$

${\displaystyle g={1 \over 2}(d-1)(d-2).}$

Так, например, плоская квартика без особых точек имеет род 3, имеет 28 бикасательных и 24 точки перегиба.

Кривые классифицируются по типам согласно их инвариантам Плюккера. Уравнения Плюккера вместе с тем ограничением, что инварианты должны быть натуральными числами, сильно ограничивают число возможных типов кривых заданной степени. Проективно эквивалентные кривые должны иметь тот же тип, но кривые одного и того же типа, вообще говоря, не эквивалентны проективно. Кривые степени 2 — конические сечения — имеют единственный тип, задаваемый равенствами d=d^*=2, δ=δ^*=κ=κ^*=g=0.

Для кривых степени 3 возможны три типа с инвариантами[1]

Кривые типов (ii) и (iii) — это рациональные кубические кривые, с обыкновенной двойной точкой и каспом соответственно. Кривые типа (i) не имеют особых точек (эллиптические кривые).

Для кривых степени 4 существует 10 возможных типов с инвариантами[2]

• Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. — 1982. — Т. 1-2, пер. с англ..
• Клейман С.Л. Успехи матем. Наук. — 1980. — Т. 35, вып. 6. — С. 69-148.
• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.
• Salmon, George. A Treatise on the Higher Plane Curves, 1879, pp. 64ff.