Ядерный метод

Ядерные методы можно рассматривать как обучение на примерах — вместо обучения некоторым фиксированным наборам параметров, соответствующим признакам входа, они «запоминают» ${\displaystyle i}$-й тренировочный пример ${\displaystyle (\mathbf {x} _{i},y_{i})}$ и обучают согласно его весам ${\displaystyle w_{i}}$. Предсказание для непомеченного ввода, т.е. не входящего в тренировочное множество, изучается при помощи функции сходства ${\displaystyle k}$ (называемой ядром) между непомеченным входом ${\displaystyle \mathbf {x'} }$ и каждым из тренировочных входов ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$. Например, ядерный бинарный классификатор обычно вычисляет взвешенную сумму похожести по формуле

${\displaystyle {\hat {y}}=\operatorname {sgn} \sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}k(\mathbf {x} _{i},\mathbf {x'} )}$,

где

• ${\displaystyle {\hat {y}}\in \{-1,+1\}}$ является ядерным бинарным классификатором предсказанной пометки для непомеченного входа ${\displaystyle \mathbf {x'} }$, скрытая верная пометка которого ${\displaystyle y}$ нужна;
• ${\displaystyle k\colon {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$ является ядерной функцией, которая измеряет схожесть пары входов ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x'} \in {\mathcal {X}}}$;
• сумма пробегает по всем n помеченным примерам ${\displaystyle \{(\mathbf {x} _{i},y_{i})\}_{i=1}^{n}}$ в тренировочном наборе классификатора с ${\displaystyle y_{i}\in \{-1,+1\}}$;
• ${\displaystyle w_{i}\in \mathbb {R} }$ являются весами тренировочных примеров, как определено алгоритмом обучения;
• Функция sgn определяет, будет предсказанная классификация положительной или отрицательной.

Ядерные классификаторы были описаны в начале 1960-х годов с изобретением ядерного перцептрона[2]. Они получили большое распространение вместе с популярностью метода опорных векторов в 1990-х годах, когда обнаружили, что МОВ конкурентоспособна с нейронными сетями на таких задачах, как распознавание рукописного ввода.

МОВ с ядром, заданной функцией φ((a, b))=(a, b, a² + b²), а тогда K(x, y)=x•y + x² y². Тренировочные точки показаны в 3-мерном пространстве, где можно легко найти разделяющую гиперплоскость

Ядерный трюк избегает явного отображения, которое нужно для получения линейного обучающего алгоритма для нелинейной функции или границы решений. Для всех ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {x'} }$ во входном пространстве ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ некоторые функции ${\displaystyle k(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$ могут быть представлены как скалярное произведение в другом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$. Функцию ${\displaystyle k\colon {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$ часто называют ядром или ядерной функцией. Слово «ядро» используется в математике для обозначения весовой функции или интеграла.

Некоторые задачи обучения машин имеют дополнительную структуру, а не просто весовую функцию ${\displaystyle k}$. Вычисления будут много проще, если ядро можно записать в виде "отображения признаков" ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {V}}}$, которое удовлетворяет равенству

${\displaystyle k(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\langle \varphi (\mathbf {x} ),\varphi (\mathbf {x'} )\rangle _{\mathcal {V}}.}$

Главное ограничение здесь, что ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathcal {V}}}$ должно быть подходящим скалярным произведением. С другой стороны, явное представление для ${\displaystyle \varphi }$ не обязательно, поскольку ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ является пространством со скалярным произведением. Альтернатива следует из теоремы Мерсера — неявно заданная функция ${\displaystyle \varphi }$ существует, если пространство ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ может быть снабжено подходящей мерой, обеспечивающей, что функция ${\displaystyle k}$ удовлетворяет условию Мерсера.

Теорема Мерсера подобна обобщению результата из линейной алгебры, которое связывает скалярное произведение с любой положительно определённой матрицей. Фактически, условие Мерсера может быть сведено к этому простому случаю. Если мы выбираем в качестве нашей меры считающую меру ${\displaystyle \mu (T)=|T|}$ для всех ${\displaystyle T\subset X}$, которая считает число точек внутри множества ${\displaystyle T}$, то интеграл в теореме Мерсера сводится к суммированию

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}k(\mathbf {x} _{i},\mathbf {x} _{j})c_{i}c_{j}\geq 0.}$

Если это неравенство выполняется для всех конечных последовательностей точек ${\displaystyle (\mathbf {x} _{1},\dotsc ,\mathbf {x} _{n})}$ в ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ и всех наборов ${\displaystyle n}$ вещественнозначных коэффициентов ${\displaystyle (c_{1},\dots ,c_{n})}$ (сравните, Положительно определённое ядро), тогда функция ${\displaystyle k}$ удовлетворяет условию Мерсера.

Некоторые алгоритмы, зависящие от произвольных связей, в исходном пространстве ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ будут, фактически, иметь линейное представление в других условиях — в ранжированном пространстве ${\displaystyle \varphi }$. Линейная интерпретация даёт нам представление об алгоритме. Более того, часто нет необходимости вычислять ${\displaystyle \varphi }$ прямо во время вычислений, как в случае метода опорных векторов. Некоторые считают уменьшение времени за счёт этого главным преимуществом алгоритма. Исследователи используют его для уточнения смысла и свойств существующих алгоритмов.

Теоретически, матрица Грама ${\displaystyle \mathbf {K} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ по отношению к ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{1},\dotsc ,\mathbf {x} _{n}\}}$ (иногда называемая «ядерной матрицей»[3]), где ${\displaystyle K_{ij}=k(\mathbf {x} _{i},\mathbf {x} _{j})}$, должна быть положительно полуопределена[4]. Эмпирически, для эвристики обучения машин, выбор функции ${\displaystyle k}$, которая не удовлетворяет условию Мерсера, может оставаться оправданным, если ${\displaystyle k}$, по меньшей мере, аппроксимирует интуитивную идею похожести[5]. Независимо от того, является ли ${\displaystyle k}$ ядром Мерсера, о ${\displaystyle k}$ могут продолжать говорить как о «ядре».

Если ядерная функция ${\displaystyle k}$ является также ковариантной функцией, что используется в гауссовском процессе, тогда матрица Грама ${\displaystyle \mathbf {K} }$ может быть названа ковариационной матрицей[6].

Области применения ядерных методов разнообразны и включают геостатистику[7], кригинг, метод (обратных) взвешенных расстояний, трёхмерную реконструкцию, биоинформатику, хемоинформатику, извлечение информации и распознавание рукописного ввода.

• Ядро Фишера
• Ядро графа
• Ядерный сглаживатель
• Полиномиальное ядро
• Ядро радиальной базисной функции
• Строковые ядра

• Kernel-Machines Org — community website
• www.support-vector-machines.org (Literature, Review, Software, Links related to Support Vector Machines - Academic Site)
• onlineprediction.net Kernel Methods Article