Коэффициент сходства

При изучении биологических объектов широко используются меры изменчивости как отдельных признаков, так и частот распределения случайных величин. В простейшем случае инвентаризационное (в пределах изучаемой биосистемы) разнообразие можно оценить видовым богатством, или числом видов.

Наиболее часто используются меры разнообразия[1] (коэффициент вариации, индексы параметрического семейства Реньи, включая индекс Шеннона; индексы семейства Хилла; индексы Маргалефа, Глизона и др.). Реже используются дополняющие их меры концентрации (например, семейство мер Колмогорова, мера диссонанса Розенберга).

Это наиболее используемые в биологии и географии коэффициенты[2]. Самый первый коэффициент сходства был предложен П. Жаккаром (Jaccard) в 1901 г.[3] : ${\displaystyle K_{J}={\frac {c}{a+b-c}}}$, где а — количество видов на первой пробной площадке, b — количество видов на второй пробной площадке, с — количество видов, общих для 1-й и 2-й площадок. Впоследствии в самых различных областях науки предлагались различные коэффициенты (меры, индексы) сходства. Наибольшее распространение получили (обозначения те же):

• коэффициент Серенсена (Sörensen)[4] : ${\displaystyle K_{S}={\frac {2c}{a+b}}}$;
• коэффициент Кульчинского (Kulczinsky)[5] : ${\displaystyle K_{K}={\frac {c}{2}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right)}$;
• коэффициент Отиаи (Ochiai)[6]: ${\displaystyle K_{O}={\frac {c}{\sqrt {ab}}}}$;
• коэффициент Шимкевича-Симпсона (Szymkiewicz[7], Simpson)[8]: ${\displaystyle K_{S}={\frac {c}{min(a,b)}}}$;
• коэффициент Браун-Бланке (Braun-Blanquet)[9]: ${\displaystyle K_{B}={\frac {c}{max(a,b)}}}$;

Известна альтернативная система обозначений для таблицы сопряжённости ${\displaystyle 2\times 2}$ от Р. Р. Сокала (Sokal) и П.Снита (Sneath)[10][11]:

где а — количество видов, встречаемых на обеих площадках; b — количество видов, встреченных на первой пробной площадке, но без учёта встречаемости общих видов; с — количество видов, встреченных на второй пробной площадке, но без учёта встречаемости общих видов.

Эта таблица создает большую путаницу. Её часто путают с похожей статистической таблицей сопряженности ${\displaystyle 2\times 2}$; обозначения таблицы Сокала-Снита путают с классическими обозначениями (см. выше); почти всегда не учитывают того факта, что таблица рассматривает только вероятности.
В процессе математической формализации объектов и связей между ними возникла универсальная теоретико-множественная запись для коэффициентов сходства. Впервые такого рода запись появляется в работах А. С. Константинова[12], М. Левандовского и Д. Винтер[13]. Так, коэффициент сходства Жаккара может быть записан следующим образом:

${\displaystyle K_{J}={\frac {n(A\cap B)}{n(A)+n(B)-n(A\cap B)}}}$ или ${\displaystyle K_{J}={\frac {n(A\cap B)}{n(A\cup B)}}}$.

Наиболее простым коэффициентом сходства является мера абсолютного сходства, которая по сути является числом общих признаков двух сравниваемых объектов: ${\displaystyle n(A\cap B)}$[14]. При нормировке этой меры значения меры сходства заключены между 0 и 1 и коэффициент известен как «мера процентного сходства» при использовании относительных единиц измерения (в процентах) и как меры пересечения в промежуточных расчетах относительных мер сходства (например, за рубежом известна как мера Ренконена [15]).

В 1973 году Б. И. Сёмкиным была предложена общая формула на основе формулы среднего Колмогорова, объединяющая большую часть известных коэффициентов сходства в непрерывный континуум мер[16][17]:

${\displaystyle K_{\tau ,\eta }(A,B)=\left({\frac {K_{\tau }^{\eta }(A;B)+K_{\tau }^{\eta }(B;A)}{2}}\right)^{\frac {1}{\eta }}}$,

где ${\displaystyle K_{\tau },(A;B)={\frac {K_{0}(A;B)}{1+\tau -\tau K_{0}(A;B)}}}$; ${\displaystyle K_{\tau },(B;A)={\frac {K_{0}(B;A)}{1+\tau -\tau K_{0}(B;A)}}}$; ${\displaystyle K_{0}(A;B)={\frac {conv(A,B)}{S(B)}}}$; ${\displaystyle K_{0}(B;A)={\frac {conv(A,B)}{S(A)}}}$; ${\displaystyle -1<\tau <{\mathcal {1}}}$; ${\displaystyle -{\mathcal {1}}<\eta <+{\mathcal {1}}}$. Например, значения ${\displaystyle [\tau ,\eta ]}$ для вышеприведённых коэффициентов имеют следующий вид: [1,-1] (коэффициент Жаккара); [0,-1] (коэффициент Серенсена); [0,1] (коэффициент Кульчинского); [0,0] (коэффициент Отиаи); [0, ${\displaystyle +{\mathcal {1}}}$ ] (коэффициент Шимкевича-Симпсона); [0,${\displaystyle -{\mathcal {1}}}$ ] (коэффициент Браун-Бланке). Обобщающая формула позволяет определить классы эквивалентных и неэквивалентных коэффициентов[18], а также предотвратить создание новых дублирующих коэффициентов.

Основная статья: Мера включения

Специфическим типом коэффициентов сходства являются меры включения. Это несимметричные меры (${\displaystyle K_{\tau }^{\eta }(A;B)}$ и ${\displaystyle K_{\tau }^{\eta }(B;A)}$), которые показывают степень сходства (включение) одного объекта относительно другого. Более привычные (симметричные) коэффициенты близости можно получить путём осреднения двух взаимодополняющих несимметричных мер включения, то есть каждой симметричной мере сходства соответствуют две определённые несимметричные меры сходства. Например, для меры Сёренсена это ${\displaystyle K(A;B)={\frac {n(A\cap B)}{n(A)}}}$ и ${\displaystyle K(B;A)={\frac {n(A\cap B)}{n(B)}}}$), а для меры Жаккара это ${\displaystyle K(A;B)={\frac {n(A\cap B)}{2n(A)-n(A\cap B)}}}$ и ${\displaystyle K(B;A)={\frac {n(A\cap B)}{2n(B)-n(A\cap B)}}}$. В общем, две несимметричные меры включения лучше оценивают сходство объектов чем одна усреднённая симметричная мера сходства.

Спорным и неоднозначным является вопрос о сравнении объектов по весовым показателям. В экологии это показатели, учитывающие обилие. Наиболее последовательными схемами формализации таких типов являются схема Б. И. Сёмкина на основе дескриптивных множеств и схема А.Чао (Chao) с основанными на обилии индексами (abundance-based indices)[19]. Также в зарубежной литературе устоялось представление индексах на основе инцидентности (incidence-based index), то есть индексах для булевых данных типа присутствие/отсутствие (presence/absence) признака. По сути, и те и другие могут быть описаны как частные случаи дескриптивных множеств.

Дискуссионными остаются сравнение случайных событий (например, встречаемость) и информационных показателей. В схеме формализации отношений близости Б. И. Сёмкина предлагается выделять ряд аналитических интерпретаций для различных отношений близости: множественная, дескриптивная, вероятностная, информационная. Формально принадлежность к мерам сходства определяется системой аксиом (здесь E — произвольное множество):

1. ${\displaystyle K(A,B)\geqslant 0;\forall A,B{\mathcal {2}}E}$ (неотрицательность);
2. ${\displaystyle K(A,B)=K(B,A);\forall A,B{\mathcal {2}}E}$ (симметричность);
3. ${\displaystyle K(A,B)\geqslant K(A,A);\forall A,B{\mathcal {2}}E}$ («целое больше части»);
4. ${\displaystyle K(A,B)\leqslant K(A,A)+K(B,B);\forall A,B{\mathcal {2}}E}$ (субаддитивность).

Системы аксиом для мер сходства предлагали: А. Реньи[20], Ю. А. Воронин[21][22], А.Тверски[23], А. А. Викентьев, Г. С. Лбов[24], Г. В. Раушенбах[25], Б. И. Сёмкин[26][27] и др.

Основная статья: Матрица мер конвергенции

Как правило, совокупность мер близости представляют в виде матриц типа «объект-объект». Это, например, матрицы сходства, матрицы расстояний (в широком смысле — различия), матрицы совместных вероятностей, матрицы информационных функций. Большинство из них могут быть построены на основе: абсолютных или относительных мер, а они в свою очередь могут быть симметричными или несимметричными (последние часто называются мерами включения).

Такого рода коэффициенты используются для сравнения серии объектов. К ним относятся: среднее сходство Алёхина, индекс биотической дисперсии Коха, коэффициент рассеяния (дисперсности) Шенникова, мера бета-разнообразия Уиттекера, мера гомотонности и двойственная ей мера гетеротонности Миркина-Розенберга, коэффициент сходства серии описаний Сёмкина. В зарубежной литературе меры этого типа встречаются под названиями: многомерные коэффициенты, n-мерные коэффициенты, multiple-site similarity measure, multidimensional coefficient, multiple-community measure [28][29][30]. Наиболее известный коэффициент был предложен Л.Кохом[31]:

${\displaystyle K(X_{1},...,X_{n})={\frac {T-S}{(n-1)S}}}$,

где ${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{n(X_{i})}}$ , то есть сумма числа признаков каждого из объектов; ${\displaystyle S=n(X_{1}\cup ...\cup X_{n})}$ , то есть общее число признаков; ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ — совокупность n множеств (объектов).

Как правило, расчёт мер близости производится в модуле кластерного анализа программы. Наиболее часто используют Statistica, но в соответствующем модуле меры сходства не представлены совсем, только расстояния. В SPSS (PASW Statistics) предлагается расчёт ряда мер сходства (меры Охаи, Жаккара, Сокала-Снита, Кульчинского, симметричная Дайса). Малых программ для расчёта мер близости и последующего графического представления зависимостей существует огромное количество[32][33]. Меры сходства же представлены крайне редко и в основном в специализированных программах для биологов[34]: Graphs, NTSYS, BIODIV, PAST, причём даже там их крайне мало (обычно только мера Жаккара и иногда мера Сёренсена). Также можно отметить TurboVEG и IBIS[35], в основе которых лежит база данных с модулями обработки, причём в программе IBIS реализовано наибольшее количество мер близости, используемых в настоящее время в биологии, географии и прочих областях.

• Метрическое пространство
• Биоразнообразие
• Задача классификации
• Кластерный анализ
• Взаимная информация
• Условная вероятность
• Биоценометрия
• Мера схожести строк