Мера разнообразия

Первое обобщение для мер разнообразия было предложено Альфредом Реньи[6]. Формула хорошо известна математикам как формула энтропии Реньи. Если альфа-индекс равен 0 мы получаем ${\displaystyle \log _{2}N}$ (известна как формула Хартли); при значении ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$ индекс идентичен индексу Шеннона; при значении ${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty }$ получаем ${\displaystyle \log _{2}{1 \over p_{max}}}$, где в знаменателе индекс Бергера-Паркера, который определяется как максимум из всех рассматриваемых долей. Активно обсуждался вопрос какое основание логарифма лучше использовать. Известны примеры использования в биологии логарифмов с основаниями 2, 10, e. От проблемы выбора основания логарифма свободна формула Хилла.
На основе формулы энтропии Реньи М.Хиллом был предложен континуум мер выравненности (evenness) в виде унифицированной формулы, определенной как антилогарифм от энтропии Реньи[7].

${\displaystyle R_{\alpha }=(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha })^{1 \over 1-\alpha };\alpha \geqslant 0.}$

Приведем примеры для некоторых случаев: ${\displaystyle R_{0}=N;R_{1}=e^{H};R_{2}={1 \over \sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}}}$, где в знаменателе индекс Симпсона. Позднее, на основе данной формулы был создан ряд мер: мера Шелдона (Sheldon), мера Хейпа (Heip), мера Алатало (Alatalo), мера Молинари (Molinari) и др. Без привязки к параметрическим семействам используются следующие меры:

• индекс Глизона: ${\displaystyle {N \over ln(p_{i})}}$;
• индекс Маргалефа: ${\displaystyle {N-1 \over ln(p_{i})}}$;
• индекс Менхиника: ${\displaystyle {N \over {\sqrt {p}}_{i}}}$;
• индекс выровненности Пилу (иногда Пиелу или Пиелоу): ${\displaystyle {\frac {H}{\log N}}={H \over H_{max}}}$. Является по сути нормировкой индекса Шеннона между 0 и 1.

Существуют и другие индексы разнообразия, которые применяют биологи[8], причём самым простым показателем разнообразия является видовое богатство или число видов.

Меры однородности используются значительно реже. Здесь можно отметить семейство мер концентрации (${\displaystyle Q_{\alpha }}$) А.Н.Колмогорова. Его меры коэквивалентны мерам семейства Хилла как ${\displaystyle R_{\alpha }={1 \over Q_{\alpha }}}$.

Данная группа индексов редко используются по причине сложности вычисления. Наиболее известным индексом этого типа является индекс Бриллюэна[9]. Для биологических исследований впервые использован Рамоном Маргалефом[10]:

${\displaystyle {1 \over N}\log _{2}{N! \over n_{1}!...n_{S}!}}$

Меры разнообразия на основе дескриптивных множеств были предложены Б.И. Семкиным в 1971 году[11], а также Р.Л. Акоффом и Ф.Э. Эмери в 1972 году[12]. Например, Б.И. Семкин предложил абсолютную меру разнообразия, основанную на сравнении исследуемого весового множества с эталоном, имеющим максимальное разнообразие:

${\displaystyle K_{0}(X,X_{max})=m(X\cap X_{max})}$,

где ${\displaystyle X_{max}=\left\{x_{i},\mu (X_{i})={1 \over n},i=1,...,n\right\}}$, X – весовое множество, разнообразие которого определяется; n – число таксонов. Также используется нормированная относительная мера разнообразия:

${\displaystyle R_{S}={n\sum _{i=1}^{n}min(p_{i},{1 \over n})-1 \over n-1}}$

• Биоразнообразие
• Коэффициент сходства