Условная вероятность

Пусть два события ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ принадлежат ${\displaystyle \sigma }$- полю вероятностного пространства и ${\displaystyle P(B)>0}$. Условная вероятность ${\displaystyle A}$ при условии ${\displaystyle B}$ равняется частному от деления вероятности событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ на вероятность ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

Обратите внимание на то, что это определение, а не теоретический результат. Мы просто обозначаем величину ${\displaystyle {\displaystyle {\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}}$ как ${\displaystyle P(A|B)}$ и называем её условной вероятностью ${\displaystyle A}$ при условии ${\displaystyle B}$.

Некоторые авторы, такие как де Финетти, предпочитают вводить условную вероятность как аксиому вероятности:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A|B)P(B)}$.

Круговая диаграмма Венна для условной вероятности

Условную вероятность можно обозначить как вероятность условного события ${\displaystyle A_{B}}$. Предполагается, что испытание, лежащее в основе событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, повторяется. Тогда условная вероятность равна

${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}}$,

что соответствует определению условной вероятности Колмогорова. Заметим, что уравнение ${\displaystyle {\displaystyle P(A_{B})=P(A\cap B)/P(B)}}$является теоретическим результатом, а не определением. Определение через условные события можно понять в терминах аксиом Колмогорова и, особенно близко к колмогоровской интерпретации вероятности, в терминах экспериментальных данных. Например, условные события могут повторяться, что приводит к обобщенному понятию условного события ${\displaystyle {\displaystyle A_{B(n)}}.}$ Их можно записать как последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин ${\displaystyle {\displaystyle (A_{B(n)})_{n\geq 1}},}$откуда следует усиленный закон больших чисел для условной вероятности:

${\displaystyle {\displaystyle P({\underset {n\longrightarrow \infty }{\lim }}{\overline {A_{B}^{n}}}=P(A|B))=100\%}.}$

Если ${\displaystyle P(B)=0}$, то, согласно определению, условная вероятность ${\displaystyle P(A|B)}$не задана. Однако её можно определить относительно σ-алгебры таких событий (например, возникающих из непрерывной случайной величины).

Например, если ${\displaystyle X}$и ${\displaystyle Y}$- невырожденные и совместно непрерывные случайные величины с плотностью распределения ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ и ${\displaystyle B}$ имеет положительную меру, то

${\displaystyle {\displaystyle P(X\in A\mid Y\in B)={\frac {\int _{y\in B}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}{\int _{y\in B}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy}}.}}$

Случай, когда мера ${\displaystyle B}$ равна нулю, проблематичен. Если ${\displaystyle B=\{y_{0}\}}$, то условную вероятность можно попытаться записать в виде

${\displaystyle {\displaystyle P(X\in A\mid Y=y_{0})={\frac {\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}{\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{0})\,dx}},}}$

однако этот подход приводит к парадоксу Бореля-Колмогорова. Общий случай нулевой меры еще более проблематичен, потому что предел, при всех ${\displaystyle \delta y_{i}}$стремящихся к нулю,

${\displaystyle {\displaystyle P(X\in A\mid Y\in \cup _{i}[y_{i},y_{i}+\delta y_{i}])\approxeq {\frac {\sum _{i}\int _{x\in A}f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}{\sum _{i}\int _{x\in \mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y_{i})\,dx\,\delta y_{i}}},}}$

зависит от их отношения, когда они стремятся к нулю.

Корректно условную вероятность в общем виде можно задать как условное математическое ожидание от индикаторной функции. При этом, поскольку условное математическое ожидание задано с точностью до почти всюду, условную вероятность от события, имеющего вероятность ноль, можно доопределить произвольным образом. Ситуация меняется, если событие зависит от некоторого параметра. В этом случае, хотя вероятность каждого значения параметра может оказаться ноль, а значит и  условная вероятность при каждом таком параметре формально не задана, можно определить зависящую от параметра условную вероятность так, чтобы она была корректна определена почти всюду.

Пусть ${\displaystyle X}$ - случайная величина, а ${\displaystyle A}$ - событие. Условная вероятность ${\displaystyle A}$ при условии ${\displaystyle X}$ обозначается как случайная величина ${\displaystyle P(A|X)}$, которая принимает значение

${\displaystyle P(A\mid X=x)}$

всякий раз, когда

${\displaystyle X=x.}$

Это можно записать более формально

${\displaystyle P(A|X)(\omega )=P(A\mid X=X(\omega )).}$

Теперь условная вероятность ${\displaystyle P(A|X)}$ уже является функцией от ${\displaystyle X}$: например, если функция ${\displaystyle g}$ определяется как

${\displaystyle {\displaystyle g(x)=P(A\mid X=x),}}$

тогда

${\displaystyle {\displaystyle P(A|X)=g\circ X.}}$

В частности, ${\displaystyle P(A|X)}$ задано только почти всюду. В общем случае, ${\displaystyle P(A|X)}$ корректно ввести через условное математическое ожидание: условное математическое ожидание функции ${\displaystyle g}$ относительно случайной величины ${\displaystyle X}$. В случае дискретной случайной величины ${\displaystyle X}$ корректно воспользоваться теоретико-множественным определением, поскольку события ${\displaystyle X=x}$имеют ненулевую вероятность.

Частичная условная вероятность ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})}}$ события ${\displaystyle A}$ при условии событий ${\displaystyle B_{i}}$, произошедших с вероятностью ${\displaystyle b_{i}}$не равна ${\displaystyle 100\%.}$

Частичная условная вероятность имеет смысл, если условия проверятся в серии из ${\displaystyle n}$повторений эксперимента. Такая ${\displaystyle n}$ - ограниченная частичная условная вероятность может быть определена как условное математическое ожидание появления события ${\displaystyle A}$ в серии из ${\displaystyle n}$проверок, которые соответствуют всем вероятностным спецификациям ${\displaystyle {\displaystyle B_{i}\equiv b_{i}}}$, то есть:

${\displaystyle {\displaystyle P^{n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})=E({\overline {A^{n}}}|{\overline {B_{1}^{n}}}=b_{1}\cdots {\overline {B_{m}^{n}}}=b_{m})}}$

Исходя из этого, частичную условную вероятность можно записать как

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})={\underset {n\longrightarrow \infty }{lim}}P^{n}(A|B_{1}\equiv b_{1}\cdots B_{m}\equiv b_{m})}}$, где ${\displaystyle b_{i},n\in \mathbb {N} }$

Как говорилось ранее, независимость событий означает, что

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=P(A)\quad {\text{и}}\quad P(B|A)=P(B)}}$

при условии, что вероятность условия не равна нулю. Однако если события взаимоисключающие, то

${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)=0,\quad P(B|A)=0,\quad {\text{и}}\quad P(A\cap B)=0.}}$

Фактически, взаимоисключающие события не могут быть независимыми, поскольку знание о том, что одно из событий произошло, говорит о том, что другое не произошло.

В общем случае нельзя считать, что ${\displaystyle P(A|B)\approx P(B|A).}$ Связь между ${\displaystyle {\displaystyle P(A|B)}}$ и ${\displaystyle {\displaystyle P(B|A)}}$ задается формулой Байеса:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}P(B|A)&={\frac {P(A|B)P(B)}{P(A)}}\Leftrightarrow {\frac {P(B|A)}{P(A|B)}}={\frac {P(B)}{P(A)}}\end{aligned}}}}$

То есть ${\displaystyle P(A|B)\approx P(B|A),}$ только если ${\displaystyle {\frac {P(B)}{P(A)}}\approx 1,}$ что равносильно ${\displaystyle P(A)\approx P(B).}$

В общем случае нельзя считать, что ${\displaystyle P(A)\approx P(A|B).}$ Эти вероятности связаны формулой полной вероятности:

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})=\sum _{n}P(A|B_{n})P(B_{n}),}$

где события ${\displaystyle B_{n}}$образуют счетное разбиение ${\displaystyle \Omega }$.

Это заблуждение может возникнуть в результате смещения выбора. Например, в контексте медицинского утверждения, ${\displaystyle S_{C}}$является событием, которое происходит вследствие хронической болезни ${\displaystyle S}$ при обстоятельстве (острое состояние) ${\displaystyle C}$. Пусть ${\displaystyle H}$- событие, когда человек обращается за медицинской помощью. Предположим, что в большинстве случаев ${\displaystyle C}$ не вызывает ${\displaystyle S}$, поэтому ${\displaystyle P(S_{C})}$ является низкой. Предположим также, что медицинское вмешательство требуется только, если ${\displaystyle S}$ произошло из-за ${\displaystyle C}$. Исходя из опыта пациентов, врач может ошибочно заключить, что ${\displaystyle P(S_{C})}$ высока. Фактической вероятностью, наблюдаемой врачом, является ${\displaystyle P(S_{C}|H)}$.