Адаптивный фильтр

Если переменный фильтр имеет секционную линию задержки со структурой, имеющей конечную импульную характеристику (КИХ, англ. Finite Impulse Response, FIR), тогда импульсный ответ равен коэффициентам фильтра. Выход фильтра задаётся выражением

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(k-l)}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

где ${\displaystyle w_{lk}}$ относится к ${\displaystyle l}$-ому весу в момент k.

В идеальном случае ${\displaystyle v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0}$. Все нежелательные сигналы в ${\displaystyle d_{k}}$ представлены значениями ${\displaystyle u_{k}}$. Значение ${\displaystyle \ x_{k}}$ состоит полностью из сигнала, коррелирующего с нежелательным сигналом в ${\displaystyle u_{k}}$.

Выход переменного фильтра в идеальном случае равен

${\displaystyle y_{k}={\hat {u}}_{k}}$ .

Сигнал ошибки или функция цены является разностью между ${\displaystyle d_{k}}$ и ${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. Желаемый сигнал g_k проходит сквозь без изменений.

Сигнал ошибки ${\displaystyle \epsilon _{k}}$ минимизируется в смысле среднего квадратичного, когда ${\displaystyle [u_{k}-{\hat {u}}_{k}]}$ минимизируется. Другими словами, ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}}$ является лучшей среднеквадратичной оценкой ${\displaystyle u_{k}}$. В идеальном случае ${\displaystyle u_{k}={\hat {u}}_{k}}$ и ${\displaystyle \epsilon _{k}=g_{k}}$ и всё, что остаётся после вычитания, это ${\displaystyle g}$, который является неизменённым желаемым сигналом с удалёнными всеми нежелательными сигналами.

В некоторых случаях контрольная входная величина ${\displaystyle x_{k}}$ включает компоненты желаемого сигнала. Это означает g' ≠ 0.

Полное удаление нежелательных помех взаимного влияния невозможно в этом случае, но улучшение сигнала по уровню помех возможно. Выход будет

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\hat {g}}_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. Желаемый сигнал будет модифицирован (обычно будет уменьшен).

Отношение выходного сигнала к помехе взаимного влияния имеет простую формулу, называемую обращением мощности.

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho _{\mathsf {ref}}(z)}}}$.

где

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)\ }$ = отношение выходного сигнала и помехи взаимного влияния.

${\displaystyle \rho _{\mathsf {ref}}(z)\ }$ = отношение контрольного сигнала и помехи взаимного влияния.

${\displaystyle z\ }$ = частота в z-области.

Эта формула означает, что отношение выходного сигнала и помехи взаимного влияния на конкретной частоте противоположно отношению контрольного сигнала и помехи взаимного влияния[5].

Пример: Ресторан быстрого питания имеет подъездное окно для обслуживания автомобилистов. Перед тем как добраться до окна, пользователи помещают свой заказ, проговаривая его в микрофон. Микрофон воспринимает также шум двигателя и окружающей среды. Этот микрофон воспринимает основной сигнал. Сила сигнала от голоса пользователя и от двигателя одинаковы. Трудно для сотрудников ресторана понять пользователя. Чтобы уменьшить величину помехи взаимного влияния в главном микрофоне, второй микрофон располагается в месте, где он воспринимает звук двигателя. Также он воспринимает и голос пользователя. Этот микрофон является источником контрольного сигнала. В этом случае шум двигателя в 50 раз больше силы голоса заказчика. После удаления шума отношение главного сигнала к помехе взаимного влияния будет улучшен с 1:1 до 50:1.

Адаптивное линейное объединяющее устройство с объединяющим устройством и процессором адаптации. k = номер экземпляра, n=индекс входной переменной, x = контрольные входные величины, d = желаемый вход, W = набор коэффициентов, ε = ошибка выхода, Σ = суммирование, верхний блок=линейное объединяющее устройство, нижний блок= алгоритм адаптации.

Линейное адаптивное объединяющее устройство, компактное представление. k = номер экземпляра, n=индекс входной переменной, x = контрольные входные величины, d = желаемый вход, ε = ошибка выхода, Σ = суммирование.

Адаптивное линейное комбинирующее устройство (АЛК, англ. Adaptive Linear Combiner, ALC) похож на адаптивный КИХ фильтр с секционной линией задержки, за исключением того, что не имеется никаких предположений о связи между значениями X. Если X значения получены как выход секционной линии задержки, то комбинация секционной линии задержки и АЛК могла бы составлять адаптивный фильтр. Однако значения X могут быть массивом пикселей, или они могут быть выходами множественных секционных линий задержки. АЛК находит применение как адаптивный формирователь лучей для массивов гидрофонов или антенн.

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{lk}=\mathbf {W} _{k}^{T}\mathbf {x} _{k}}$

где ${\displaystyle w_{lk}}$ означает ${\displaystyle l}$-ый вес в момент времени k.

Если переменный фильтр имеет структуру КИХ с секционной линией задержки, то алгоритм обновления МСК особенно прост. Обычно после каждого поступления элемента коэффициенты КИХ фильтра пересчитываются следующим образом[6]:

для ${\displaystyle l=0\dots L}$

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{k-l}}$

μ называется множителем сходимости.

Алгоритм МСК не требует, чтобы значения X имели какие-либо связи. Поэтому он может быть использован для линейного объединяющего устройства, как и для КИХ фильтра. В этом случае формула обновления записывается следующим образом:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{lk}}$

Эффект алгоритма МСК заключается в том, что в каждый момент времени k делается небольшое изменение весов. Направление изменения выбирается так, чтобы уменьшить ошибку, если бы алгоритм был применён в момент k. Величина изменения каждого веса зависит от μ, ассоциированного значения X и ошибки в момент k. Веса, дающие больший вклад в выход ${\displaystyle y_{k}}$ изменяются больше. Если ошибка равна нулю, никаких изменений в весах не делается. Если ассоциированное значение X нулевое, то изменение весов не даст результатов, так что они не меняются.

Значение μ контролирует, насколько быстро и как хорошо алгоритм сходится к оптимальным коэффициентам фильтра. Если μ слишком велико, алгоритм не сходится. Если μ слишком мало, алгоритм сходится медленно и может оказаться неспособным отслеживать изменения. Если μ большое, но не слишком большое, чтобы расходиться, алгоритм достигает стационарного состояния быстро, но постоянно делает чрезмерные изменения в векторе весов. Иногда μ делается сначала большим для быстрой сходимости, а затем оно постепенно уменьшается для минимизации «перелёта».

Уидроу и Сернс утверждали в 1985, что не знают доказательства, что алгоритм МСК сходится во всех случаях[7].

Однако при некоторых предположениях о стационарности и независимости можно показать, что алгоритм сходится, если

${\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

где

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{l=0}^{L}\sigma _{l}^{2}}$ = сумма всех значений входа

${\displaystyle \sigma _{l}}$ является среднеквадратичным (СК, англ. Root mean square, RMS) значением ${\displaystyle l}$-го входа

В случае фильтра с секционной линией задержки каждый вход имеет одно и то же значение СК, поскольку они являются одним значением, полученным в результате задержки. В этом случае полное значение сигнала равно

${\displaystyle \sigma ^{2}=(L+1)\sigma _{0}^{2}}$

где

${\displaystyle \sigma _{0}}$ является значением СК ${\displaystyle x_{k}}$ входного потока [7].

Это приводит к нормализованному алгоритму МСК:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+\left({\frac {2\mu _{\sigma }}{\sigma ^{2}}}\right)\epsilon _{k}\ x_{k-l}}$

и в этом случае критерием сходимости становится ${\displaystyle 0<\mu _{\sigma }<1}$.