Уравнение Винера — Хопфа

Уравне́ние Ви́нера — Хо́пфа — линейное интегральное уравнение с разностным ядром на положительной полуоси:

\beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(x-s)\varphi (s)\,ds+f(x),

где $\varphi (x)$ — искомая функция; $f(x)$ , $K(x-s)$ — известные функции, $\lambda ,\beta$ — параметры. При $\beta =0$ называется уравнением Винера-Хопфа 1-го рода, при $\beta =1$ называется уравнением Винера-Хопфа 2-го рода. Было получено Винером и Хопфом при решении задачи радиационного равновесия внутри звезд. Также используется в кибернетике, при решении задач выделения и фильтрации полезного сигнала из его смеси с шумом.

Метод решения

Для решения вводятся т. н. односторонние функции $\varphi _{+}(x)$ и $f_{+}(x)$ , равные $\varphi (x)$ и $f(x)$ при x>0 и равные 0 при x<0 и функция $\varphi _{-}(x)$ , равная 0 при x>0. При помощи односторонних функций уравнение записывается в виде: $\beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(x-s)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi _{-}(x)$ . Таким образом, при помощи односторонних функций область определения уравнения продолжается на отрицательную полуось. Затем применяется прямое преобразование Фурье $\varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx$ . Для уравнения-образа $\varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)}}$ решается краевая задача Римана, т.е. определяются функции $\varphi ^{-}$ и $\varphi ^{+}$ . Решение интегрального уравнения является обратным преобразованием Фурье функции $\varphi ^{+}$ : $\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^{-iux}du$ .

Литература

Физическая энциклопедия. Т.1. Гл.ред. А.М.Прохоров. М. Сов.энциклопедия. 1988.
Н. Винер «Я-математик» М.: Наука, 1964, В 48 51 (09) УДК 510 (092), 353 стр. с илл., гл. 6 «Творческие успехи и радости. 1927—1931», с. 120—143;
Самойленко В. И., Пузырев В. А., Грубрин И. В. «Техническая кибернетика», учеб. пособие, М., изд-во МАИ, 1994, 280 стр. с илл., ISBN 5-7035-0489-9, ББК 14.2.5 С 17 УДК 621.396.6, гл. 3 «Синтез линейных систем. Оптимальные системы», п. 3.3 «Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера-Хопфа.», с. 60-63;
А. В. Манжиров, А. Д. Полянин «Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения», М., «Факториал Пресс», 2000, 384 стр., ISBN 5-88688-046-1, ББК 517.2 М 23 УДК 517.9, гл. 5 «Методы решения интегральных уравнений», п. 5.9-1 «Уравнение Винера-Хопфа второго рода».
Мышкис А. Д. «Математика для технических вузов», спец. курсы, 2-е изд, СПб, изд-во «Лань», 2002, 640 с., ISBN 5-8114-0395-X, гл. 7 «Интегральные уравнения», п. 4 «Некоторые специальные классы уравнений», п.п 8 «Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси».
Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения, М., изд-во «Наука», 1971, 352 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.