Треугольная квантовая яма

Треуго́льная ква́нтовая я́ма — один из простых профилей потенциала в квантовой механике, допускающих точное решение задачи о нахождении уровней энергии и волновых функций носителя заряда.

Математически, зависимость потенциальной энергии от декартовой координаты ${\displaystyle x}$ для такой ямы выражается как

${\displaystyle U(x)={\begin{cases}qFx,&x\geq \;0\\+\infty ,&x<0\end{cases}}}$,

где ${\displaystyle q}$ — заряд частицы (обычно электрона), ${\displaystyle F}$ — напряжённость электрического поля. Движение в плоскости ${\displaystyle yz}$ предполагается свободным.

Уравнение Шрёдингера в данном одномерном случае можно записать в виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar \;^{2}}}(E-qFx)\psi =0}$.

Здесь ${\displaystyle m}$ — эффективная масса частицы, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle \psi }$ — искомые энергия и волновая функция частицы.

Для упрощения дальнейшего рассмотрения вводится безразмерная переменная

${\displaystyle \xi =\left(-x+{\frac {E}{qF}}\right)\left({\frac {2mqF}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/3}}$.

Тогда уравнение Шрёдингера перепишется в форме

${\displaystyle \psi ''(\xi )+\xi \psi (\xi )=0}$.

Решение данного уравнения:

${\displaystyle \psi (\xi )=A\Phi (-\xi )}$,

где ${\displaystyle \Phi }$ — функции Эйри, определённые следующим образом:

${\displaystyle \Phi (\xi )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }\cos \left({{\frac {u^{3}}{3}}+u\xi }\right)\,du}$.

Множитель ${\displaystyle A}$ находится из условия нормировки и равен

${\displaystyle A={\frac {(2m)^{1/3}}{\pi ^{1/2}(qF)^{1/6}\hbar \;^{2/3}}}}$.

Собственные значения энергии частицы ${\displaystyle E=E_{j}}$ (${\displaystyle j=1,\,\,2,..}$) в треугольной яме определяются из условия

${\displaystyle \psi (\xi _{j})=0}$,

где ${\displaystyle \xi _{j}}$ — корни функции Эйри. Численно, первый пять корней: ${\displaystyle \xi _{1}=2,33810741}$, ${\displaystyle \xi _{2}=4,08794944}$, ${\displaystyle \xi _{3}=5,52055983}$, ${\displaystyle \xi _{4}=6,78670809}$, ${\displaystyle \xi _{5}=7,94413359}$. Имеется приближённое выражения для корней:

${\displaystyle \xi _{j}\approx \left({\frac {3\pi }{2}}\,j-{\frac {3\pi }{8}}\right)^{2/3}}$.

В результате получен дискретный спектр энергий для треугольной потенциальной ямы в виде:

${\displaystyle E_{j}=\xi _{j}\left[{\frac {qF\hbar \;}{\sqrt {2m}}}\right]^{2/3}}$.

Для рассматриваемой ямы не существует понятия «ширина», так как волновые функции могут быть отличны от нуля при сколь угодно больших ${\displaystyle x}$. Ширина классически доступной (${\displaystyle E>U(x)}$) области находится из условия

${\displaystyle U(x_{j})=qFx_{j}=E_{j}}$

и составляет

${\displaystyle x_{j}=\xi _{j}\left({\frac {\hbar ^{2}}{2mqF}}\right)^{1/3}}$.

Рассмотренная задача обрела значимость при исследованиях двумерных систем электронного газа в инверсных слоях у границ раздела диэлектрик—полупроводник. Хотя в таких системах профиль зоны проводимости в полупроводнике сложнее, чем линейный, а разрыв зоны проводимости на гетерогранице не является бесконечным, непосредственно вблизи этой границы яма приближённо считается треугольной, а разрыв зоны достаточно большим.