Прямоугольная квантовая яма

Стационарное уравнение Шрёдингера для описанного профиля потенциала имеет вид

${\displaystyle {\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-U_{0}\Psi (x)=E\Psi ,&|x|\leqslant a,\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)=E\Psi ,&|x|>a.\end{cases}}}$

Если ввести обозначения

${\displaystyle \varkappa ={\sqrt {-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}},}$

${\displaystyle k_{0}={\sqrt {\frac {2mU_{0}}{\hbar ^{2}}}},}$

${\displaystyle k={\sqrt {k_{0}^{2}-\varkappa ^{2}}},}$

то оно примет вид

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi ''(x)+k^{2}\Psi =0,&|x|\leqslant a,\\\Psi ''(x)+\varkappa ^{2}\Psi =0,&|x|>a.\end{cases}}}$

Потенциал инвариантен по отношению к инверсии пространства ${\displaystyle V(x)=V(-x)}$, поэтому решения уравнения Шрёдингера являются собственными функциями оператора чётности, то есть являются либо чётными, либо нечётными. Чётные решения имеют вид

${\displaystyle u_{+}(x)={\begin{cases}A_{+}\cos kx,&|x|\leqslant a,\\A_{+}e^{\varkappa (a-|x|)}\cos kx&|x|>a,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle A_{+}={\frac {1}{\sqrt {a+{\frac {1}{k}}\sin ka\cos ka+{\frac {1}{\varkappa }}\cos ^{2}ka}}}}$

Нечётные

${\displaystyle u_{-}(x)={\begin{cases}A_{-}\sin kx,&|x|\leqslant a,\\A_{-}e^{\varkappa (a-|x|)}\sin kx&|x|>a,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle A_{-}={\frac {1}{\sqrt {a-{\frac {1}{k}}\sin ka\cos ka+{\frac {1}{\varkappa }}\sin ^{2}ka}}}}$

• Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
• Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.