Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера

После замены переменных

${\displaystyle y=\mathrm {ch^{2}} ax}$

получим

${\displaystyle y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)-\left({\frac {k^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y}}\right)\Psi (y)=0.}$

Если подставить решение в виде

${\displaystyle \Psi (y)=y^{\frac {\lambda }{2}}v(y)}$,

то уравнение приводится к гипергеометрическому виду

${\displaystyle y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)-(\lambda -1)y\right)v'(y)-{\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2}}{a^{2}}}\right)v=0}$

Обозначая

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left(\lambda +i{\frac {k}{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\left(\lambda -i{\frac {k}{a}}\right)}$

общее решение примет вид

${\displaystyle v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2}};1-y\right)+iB(1-y)^{\frac {1}{2}}\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};1-y\right)}$

В качестве фундаментальной системы решений исходного уравнения удобно выбрать чётное и нечётное решение, то есть собственные функции оператора чётности:

${\displaystyle {\hat {P}}\Psi _{\pm }(x)=\pm \Psi _{\pm }(x),}$

Чётное решение соответствует ${\displaystyle A=1}$ и ${\displaystyle B=0}$

${\displaystyle \Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2}};-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)}$

Нечётное решение соответствует ${\displaystyle A=0}$ и ${\displaystyle B=1}$

${\displaystyle \Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)}$

Для удобства обозначим ${\displaystyle k=i\kappa }$, тогда энергия запишется как

${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}.}$

Параметры гипергеометрических функций примут вид

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left(\lambda -{\frac {\kappa }{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\left(\lambda +{\frac {\kappa }{a}}\right).}$

Чтобы получить нормируемые функции необходимо исключить члены асимптотик неограниченные на бесконечности, для нечётных функций это условие примет вид

${\displaystyle {\frac {\kappa }{a}}=\lambda -2-2k}$,

для чётных

${\displaystyle {\frac {\kappa }{a}}=\lambda -1-2k}$

Объединяя эти условия, получим уровни энергии:

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda -1,\;n\in \mathbb {Z} _{+}}$

Коэффициенты отражения и прохождения имеют вид:

${\displaystyle R={\frac {1}{1+p^{2}}},\qquad T={\frac {p^{2}}{1+p^{2}}},}$

где введено обозначение

${\displaystyle p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a}}}{\sin \pi \lambda }}.}$

При ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} _{+}}$ получим, что ${\displaystyle p=\infty }$ и

${\displaystyle R=0,\qquad T=1.}$

Таким образом, при ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }$ модифицированный потенциал Пёшль — Теллера становится безотражательным.

Заменой ${\displaystyle u=\mathrm {th} ax}$ уравнение Шрёдингера может быть сведено к уравнению

${\displaystyle ((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a}}\right)^{2}{\frac {1}{1-u^{2}}}\Psi (u)=0.}$

Решение этого уравнения может быть представлено через функции Лежандра

${\displaystyle \Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu }(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu }(u),}$

где ${\displaystyle \mu =ik/a}$.