Осцилляции Зенера — Блоха

Если пренебречь межзонными переходами электронов в присутствии внешнего электрического поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$, то перемещения электрона в k-пространстве полностью определяется вторым законом Ньютона:

${\displaystyle \hbar \;{\frac {dk}{dt}}=-e\mathbf {E} }$.

Где ${\displaystyle e}$ —- элементарный заряд (в этих обозначениях заряд электрона равен ${\displaystyle -e=-1,6\cdot 10^{-19}}$ Кл). При отсутствии столкновений электрон проходит во всей первой зоне Бриллюэна, отражается от её границы, снова пересекает зону, и вновь отражается на границе. В результате такое движение электрона в зоне под действием постоянного электрического поля имеет характер осцилляций в ${\displaystyle \mathbf {k} }$-пространстве, а значит и в обычном пространстве. Эти осцилляции получили название осцилляций Зенера (частичный случай электрического поля) и Блоха (общий случай действия потенциального поля какой-либо природы).

Пусть поле ${\displaystyle \mathbf {E} }$ направлено вдоль вектора обратной решётки ${\displaystyle \mathbf {K} }$, определяющий положение границы зоны Бриллюэна, отражающей электроны. За одну осцилляцию электрон проходит расстояние ${\displaystyle K}$. Если ${\displaystyle K={\frac {2\pi }{a}}}$, где ${\displaystyle a}$ — постоянная решетки, то циклическая частота равна:

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}}$.

Поскольку ${\displaystyle a\approx \;3}$A, для поля ${\displaystyle 2\cdot 10^{6}}$ В/м, то частота составляет около ${\displaystyle 10^{13}}$ Гц. Осцилляции ограничены в пространстве. В такой ситуации потенциал возмущения ${\displaystyle e\mathbf {E} \mathbf {r} }$ видоизменяет энергетические уровни в зоне. И состояния, энергия которых отличается на величину ${\displaystyle eEa}$ изменяют энергии вдоль краёв зоны. Равные энергии создают т. н. штарковскую лестницу, названную так, поскольку её возникновение напоминает эффект Штарка в атомной физике. Ясно, что амплитуда ${\displaystyle L_{z}}$, пространственных осцилляций определяется шириной зоны ${\displaystyle W_{b}}$:

${\displaystyle L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}}$

Так как на элементарную ячейку приходится одно состояние, то общее количество осцилляций остаётся неизменной величиной, однако интервалы между соседними уровнями энергии остаются конечными и одинаковыми.

Волновая функция электрона в состоянии Зенера — Блоха, очевидно отличается от бегущей волны, поскольку ${\displaystyle \mathbf {k} }$ уже не является хорошим квантовым числом. Рассматривая приложенный потенциал, как возмущение, находим:

${\displaystyle {\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{z}}$-

${\displaystyle \psi _{z}=V^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{k}(\mathbf {r} )}$

где ${\displaystyle \psi _{k}(\mathbf {r} )}$ — зонные функции Блоха, ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}^{*}=p^{2}/2m^{*}}$. Теория возмущений даёт

${\displaystyle c_{k'}=\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}}$.

Матричный элемент удобнее всего вычислять учитывая

${\displaystyle \mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\nabla _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )}$.

Переходя от суммирования по ${\displaystyle \mathbf {k} }$ к интегрированию с помощью соотношения

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k} }$,

и интегрируя по частям, используя свойство ортогональности плоских волн, получаем:

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}}$-

откуда находим производные

${\displaystyle {\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}}$,

как и

${\displaystyle c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d\mathbf {k} \right\rbrace }$.

Для того, чтобы периодичность волновой функции сохранялась, функция ${\displaystyle c_{k}}$ должна быть периодической. Если положить

${\displaystyle W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),}$

где ${\displaystyle W_{k}=W_{0}}$ — энергия центра зоны, то с условия периодичности вытекает равенство энергий

${\displaystyle W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),}$

где ${\displaystyle n'}$ — целое число, а ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — вектор элементарной ячейки. В результате, состояние, которому отвечает собственное значение ${\displaystyle W_{z}}$, локализовано в пространстве у элементарной ячейки, расположенной в точке ${\displaystyle n'\mathbf {a} }$, откуда полагая ${\displaystyle n'\mathbf {a} =\mathbf {r} }$, находим

${\displaystyle c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac {iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace }$.

Волновые функции Блоха здесь принимают вид

${\displaystyle \psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r} )\exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\right\rbrace .}$

Теперь можно использовать простую модель, описывающую зону по направлению поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$:

${\displaystyle W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka}$

${\displaystyle -{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a}},}$

где ${\displaystyle W_{b}}$ — ширина зоны. Далее предполагаем, что функция ${\displaystyle u_{k}(\mathbf {r} )}$ от ${\displaystyle \mathbf {k} }$. Тогда

${\displaystyle \psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \left\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =}$

${\displaystyle =c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),\quad n=(x_{0}-x)/a,}$

где ${\displaystyle J_{n}(z)}$ — функция Бесселя, ${\displaystyle n}$ — целое число, а поле направлено вдоль оси ${\displaystyle x}$. У точки ${\displaystyle x=x_{0}}$ функция ${\displaystyle J_{n}(z)}$ ведет себя подобно стоящей волны с волновым вектором величины ${\displaystyle \pi /2a}$, то есть длина волнового вектора ровная половине расстоянии от центра зоны Бриллюэна к его границе. Когда ${\displaystyle |x_{0}-x|\gg \,a}$, асимптотическое разложение даёт

${\displaystyle J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a}}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}-x|}}\right)^{|x_{0}-x|/a}}$,

где ${\displaystyle L_{z}}$ — классическая амплитуда пространственных осцилляций, а ${\displaystyle e_{n}}$ — основание натуральных логарифмов. Ясно, что при ${\displaystyle |x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2}$ волновая функция очень быстро затихает. Она уменьшается при ${\displaystyle |x_{0}-x|\rightarrow 0}$, достигая максимума в точке ${\displaystyle |x_{0}-x|=L_{z}/2}$. Поведение этой волновой функции качественно напоминает поведение гармоничного осцилятора — она растет у концов отрезка, соответствующие классическим точкам поворота. С тем, чтобы наблюдать это явление необходимо удовлетворить условия

${\displaystyle \omega _{z}\tau >1,}$

где ${\displaystyle \tau }$ — время между столкновениями. Обычно расчет времени ${\displaystyle \tau }$ проводят для состояний, близких к краям зоны. Типичные значения ${\displaystyle \tau }$ около ${\displaystyle 10^{-13}}$ с. В результате, электрон который осуществляет колебания Зинера — Блоха, большую часть времени находится около краёв зоны, и потому разумно принять оценку времени около ${\displaystyle 10^{-13}}$. Для этой цели необходимо создать поля, которые превысят ${\displaystyle 2\cdot 10^{6}}$ В/м. Во многих случаях такое сильное поле может привести к пробою полупроводника.

• Квантовый осциллятор
• Осцилляции Блоха