Термодинамика фотонного газа

Перечислим особенности электромагнитного излучения, рассматриваемого как совокупность частиц — фотонов, — возникающих при испускании и исчезающих при поглощении излучения веществом[6][7][8][9]:

• Масса покоя фотона равна нулю.
• Фотон электронейтрален, всегда движется со скоростью света (ультрарелятивистская частица) и обладает энергией, импульсом и равным 1 спином, то есть относится к бозонам. При неупругом столкновении с частицей вещества фотон исчезает, передавая свои энергию и импульс этой частице.
• Квантовая электродинамика допускает взаимодействие фотонов друг с другом, однако вероятность такого их поведения исчезающе мала, поэтому фотоны внутри некоторого объёма обычно рассматривают как совокупность не взаимодействующих между собой частиц[10], то есть как идеальный бозе-газ.
• Температура вырождения фотонного газа равна бесконечности, поэтому фотонный газ вырожден при любых температурах.
• Конденсация Бозе — Эйнштейна в фотонном газе невозможна, так как не существует фотонов с нулевым импульсом (фотоны всегда движутся со скоростью света).

Прямой обмен энергией между фотонами можно считать ничтожно малым, поэтому для установления термического равновесия в фотонном газе принципиально необходимо взаимодействие фотонов с веществом, которое должно наличествовать хотя бы в небольшом количестве[11]. Установление равновесия происходит за счёт поглощения и испускания фотонов веществом, например, стенками полости, причём энергии поглощаемых и спускаемых фотонов не обязаны совпадать[12]. Равновесие наступает, когда в фотонном газе достигается стационарное распределение фотонов по энергиям, не зависящее от времени и природы вещества, но зависящее от температуры. Поглощение и испускание фотонов веществом ведёт к тому, что их число в полости непостоянно и зависит от температуры, то есть число частиц в равновесном фотонном газе не является независимой переменной[13]. Тем самым фотонный газ отличается от обычного газа атомно-молекулярной природы: не существует различных сортов фотонов и смесевых фотонных газов. Различие между фотонами чисто количественное: на микроскопическом уровне — в энергиях (импульсах) фотонов, на макроскопическом — в температурах фотонногазовых систем.

Если рассматривают излучение не в вакууме, а в материальной среде, то условие идеальности фотонного газа требует малости взаимодействия излучения с веществом. Это условие выполняется в газах (во всем спектре излучения, за исключением частот, близких к линиям поглощения вещества); при высокой плотности вещества условие идеальности фотонного газа соблюдается лишь при очень высоких температурах[14][15].

В состоянии равновесия электромагнитное излучение (фотонный газ) внутри полости в абсолютно чёрном теле характеризуют теми же термодинамическими величинами, что и обычный газ: объёмом, давлением, температурой, внутренней энергией, энтропией и т. д. Излучение оказывает давление на стенки полости за счёт того, что фотоны обладают импульсом; температура равновесного фотонного газа совпадает с температурой стенок. Приведём без вывода основные термодинамические соотношения для равновесного теплового излучения (фотонного газа)[16][17][18][19][20]:

• Давление

${\displaystyle P={\frac {\alpha }{3}}T^{4},}$

(Термическое уравнение состояния)

где α — радиационная постоянная[21], связанная с постоянной Стефана — Больцмана σ соотношением

${\displaystyle \alpha ={\frac {4\sigma }{c}},}$

(Радиационная постоянная)

(c — скорость света в вакууме).

В выражение для давления, представляющее собой термическое уравнение состояния фотонного газа, не входит объём[22], то есть фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободы[23][24]. В качестве единственной независимой переменной, используемой для описания состояние фотонного газа, традиционно выбирают температуру. Это означает, что для фотонного газа термическое равновесие есть необходимое и достаточное условие равновесия термодинамического, то есть в данном конкретном случае эти понятия эквивалентны друг другу.

• Внутренняя энергия как функция температуры (закон Стефана — Больцмана[25]) ведёт себя в полном соответствии с постулатом Тиссы[26]:

${\displaystyle U=\alpha VT^{4}.}$

(Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

Из этого выражения видно, что внутренняя энергия фотонного газа аддитивна по объёму[27]. Важно, что от объёма системы зависит число находящихся в нём фотонов и, следовательно, энергия теплового излучения и другие аддитивные функции состояния, но не плотности этих величин, которые зависят только от температуры[28]. Дабы подчеркнуть, что в калорическое уравнение состояния и другие термодинамические соотношения объём входит не как независимая переменная состояния, а как характеризующий систему числовой параметр, для фотонного газа в математические формулы часто вместо аддитивных по объёму функций состояния включают их плотности. Используя плотность внутренней энергии (плотность излучения[29]) u, запишем калорическое уравнение состояния фотонного газа в таком виде:

${\displaystyle u\equiv {\frac {U}{V}}=\alpha T^{4}.}$

(Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

С использованием внутренней энергии в качестве независимой переменной термическое уравнение состояния фотонного газа можно записать так:

${\displaystyle PV={\frac {1}{3}}U,}$

(Термическое уравнение состояния)

или так:

${\displaystyle P={\frac {1}{3}}u.}$

(Термическое уравнение состояния)

• Внутренняя энергия как функция энтропии (Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

${\displaystyle U=\alpha V\left({\frac {3S}{4\alpha V}}\right)^{\mathsf {\frac {4}{3}}}.}$

(Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

• Энтальпия

${\displaystyle H=\left({\frac {3P}{\alpha }}\right)^{\mathsf {\frac {1}{4}}}S.}$

(Каноническое уравнение состояния для энтальпии)

• Потенциал Гельмгольца

${\displaystyle F=-{\frac {1}{3}}\alpha VT^{4}.}$

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца)

• Потенциал Гиббса

${\displaystyle G=0.}$

(Потенциал Гиббса)

Таким образом, для фотонного газа потенциал Гиббса не является характеристической функцией. С точки зрения теоретической термодинамики это означает, что перечень характеристических функций системы зависит от её особенностей и для различных термодинамических систем эти перечни совпадать не обязаны; только внутренняя энергия и энтропия для любой термодинамической системы сохраняют свойства характеристических функций.

• Потенциал Ландау (большой термодинамический потенциал) для фотонного газа равен потенциалу Гельмгольца

${\displaystyle \Omega =-{\frac {1}{3}}\alpha VT^{4}.}$

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау)

• Энтропия как функция температуры

${\displaystyle S={\frac {4\alpha }{3}}VT^{3}.}$

(Энтропийный аналог калорического уравнения состояния)

Видно, что выражение для энтропии фотонного газа не противоречит третьему началу термодинамики.

• Химический потенциал

${\displaystyle \mu =0.}$

(Химический потенциал)

• Теплоёмкость при постоянном объёме

${\displaystyle C_{V}=4\alpha VT^{3}.}$

(Теплоёмкость при постоянном объёме)

• Теплоёмкость при постоянном давлении

${\displaystyle C_{P}=\infty .}$

(Теплоёмкость при постоянном давлении)

• Показатель адиабаты

${\displaystyle \gamma =\infty .}$

(Показатель адиабаты)

• Уравнения адиабаты

${\displaystyle S=\mathrm {const} ,~VT^{3}=\mathrm {const} ,~PV^{4/3}=\mathrm {const} .}$

(Уравнения адиабаты)

Давление фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс (T = const) является одновременно и изобарным процессом (P = const).

• Алмалиев А. Н., Копытин И. В., Корнев А. С., Чуракова Т. А. Термодинамика и статистическая физика: Статистика идеального газа. — Воронеж: Ворон. гос. ун-т, 2004. — 79 с.
• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.—Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
• Василевский А. С., Мултановский В. В. Статистическая физика и термодинамика. — М.: Просвещение, 1985. — 256 с.
• Голицын Б. Б. Исследования по математической физике (рус.) // Голицын Б. Б. Избранные труды. Том 1. Физика. / Отв. ред. А. С. Предводителев. — М.: Изд-во АН СССР. — 242 с., 1960, с. 72—214.
• Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л.—М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
• Докторов А. Б., Бурштейн А. И. Термодинамика. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2003. — 83 с.
• Жуковский В. С. Техническая термодинамика. — 3-е изд. — М.: Гостехиздат, 1952. — 440 с. (недоступная ссылка)
• Кожеуров В. А. Статистическая термодинамика. — М.: Металлургия, 1975. — 176 с.
• Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика. — М.: Наука, 1981. — 352 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2002. — 616 с. — (Теоретическая физика в 10 томах. Том 5). — ISBN 5-9221-0054-8.
• Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Квантовая физика. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. — 528 с. — (Физика в техническом университете). — ISBN 5-7038-2797-3.
• Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
• Ноздрев В. Ф., Сенкевич А. А. Курс статистической физики. — 2-изд., испр. — М.: Высшая школа, 1969. — 288 с.
• Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — 2-е изд., испр. и доп. — Новосибирск: Изд-во Носиб. ун-та, 2000. — 608 с. — ISBN 5-7615-0383-2.
• Сычёв В. В. Дифференциальные уравнения термодинамики. — 3-е изд. — М.: Изд-во МЭИ, 2010. — 251 с. — ISBN 978-5-383-00584-2.
• Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0..
• Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: Высшая школа, 1994. — 352 с..
• Ясюкевич Ю. В., Душутин Н. К. Излучение электромагнитных волн. — Иркутск: Изд-во ИГУ, 2012. — 228 с. — ISBN 978-5-9624-0647-3.