Теория гомологий

Напомним, что ${\displaystyle k}$-тая гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$ пространства ${\displaystyle X}$ — это множество отображений из ${\displaystyle k}$-мерной сферы в ${\displaystyle X}$, рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий ${\displaystyle H_{k}(X)}$ отображения сфер заменяют на ${\displaystyle k}$-циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности ${\displaystyle k}$ внутри ${\displaystyle X}$, но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа ${\displaystyle k}$-циклов — ${\displaystyle Z_{k}(X)}$ (от нем. Zyklus — «цикл»), группа ${\displaystyle k}$-границ — ${\displaystyle B_{k}(X)}$ (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как

${\displaystyle H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)}$.

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности ${\displaystyle k>2}$ приводит к некоторым трудностям[1]. Решением является определение промежуточного понятия группы ${\displaystyle k}$-цепей ${\displaystyle C_{k}(X)}$, состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в ${\displaystyle X}$ неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы ${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)}$. Тогда ${\displaystyle k}$-циклы определяются как ${\displaystyle k}$-цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:

${\displaystyle Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X)=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))}$.

Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: ${\displaystyle \partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0}$, а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

• Симплициальные гомологии — гомологии определяются для очень простых пространств (симплициальных комплексов).

Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

• Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.

• Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы ${\displaystyle G}$. То есть, вместо групп ${\displaystyle C_{k}(X)}$ рассматривать группы ${\displaystyle C_{k}(X)\otimes G}$.

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в группе ${\displaystyle G}$ обозначаются ${\displaystyle H_{k}(X;G).}$ Обычно применяют группу действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, или циклическую группу вычетов по модулю ${\displaystyle m}$ — ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$, причём обычно берётся ${\displaystyle m=p}$ — простое число, тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу ${\displaystyle C_{*}(X)}$

${\displaystyle \ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\xleftarrow {}}\ldots }$

функтор ${\displaystyle \cdot \otimes G}$, мы получим комплекс

${\displaystyle \ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots }$,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в ${\displaystyle G}$.

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу ${\displaystyle G}$. То есть, пространство коцепей ${\displaystyle C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)}$.

Граничный оператор ${\displaystyle \delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}}$ определяется по формуле: ${\displaystyle (\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)}$ (где ${\displaystyle x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}}$). Для такого граничного оператора также выполняется

${\displaystyle \delta ^{k+1}\delta ^{k}=0}$, а именно

${\displaystyle (\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0}$.

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operatorname {Ker} \delta ^{k}}$, кограниц ${\displaystyle B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1}}$ и когомологий ${\displaystyle H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)}$.

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если ${\displaystyle G}$ — кольцо, то в группе когомологий ${\displaystyle H^{*}(X,G)}$ определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или ${\displaystyle \cup }$-npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда ${\displaystyle X}$ — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {R} )}$ может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на ${\displaystyle X}$ (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Возьмём случай двух топологических пространств ${\displaystyle Y\subset X}$. Группа цепей ${\displaystyle C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)}$ (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе ${\displaystyle G}$). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы ${\displaystyle C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)}$. Так как граничный оператор ${\displaystyle d}$ на группе гомологий подпространства ${\displaystyle Y}$ переводит ${\displaystyle d_{k}\colon C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)}$, то можно определить на факторгруппе ${\displaystyle C_{k}(X,Y)}$ граничный оператор (мы его обозначим так же) ${\displaystyle d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)}$.

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в ${\displaystyle 0}$ будут называться относительными циклами ${\displaystyle Z_{k}(X,Y)}$, а цепи, которые являются его значениями — относительными границами ${\displaystyle B_{k}(X,Y)}$. Так как ${\displaystyle dd=0}$ на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда ${\displaystyle B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)}$. Факторгруппа ${\displaystyle H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)}$ называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в ${\displaystyle H_{k}(X)}$ является также и относительным то имеем гомоморфизм ${\displaystyle j_{k}:H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ По функториальному свойству вложение ${\displaystyle i_{k}:Y\to X}$ приводит к гомоморфизму ${\displaystyle i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$.

В свою очередь можно построить гомоморфизм ${\displaystyle d_{*k}:H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$, который мы определим следующим образом. Пусть ${\displaystyle c_{k}\in C_{k}(X,Y)}$ — относительная цепь, которая определяет цикл из ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$. Рассмотрим её как абсолютную цепь в ${\displaystyle C_{k}(X)}$ (с точностью до элементов ${\displaystyle C_{k}(Y)}$). Так как это относительный цикл, то ${\displaystyle d_{k}c}$ будет равен нулю с точностью до некоторой цепи ${\displaystyle c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)}$. Положим ${\displaystyle d_{*k}}$ равным классу гомологий цепи ${\displaystyle c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)}$.

Если мы возьмём другую абсолютную цепь ${\displaystyle c'_{k}\in C_{k}(X)}$, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь ${\displaystyle c=c'+u}$, где ${\displaystyle u\in C_{k}(Y)}$. Имеем ${\displaystyle d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u}$, но так как ${\displaystyle d_{k}u}$ является границей в ${\displaystyle Z_{k-1}(Y)}$ то ${\displaystyle d_{k}c}$ и ${\displaystyle d_{k}c'}$ определяют один и тот же элемент в группе гомологий ${\displaystyle H_{k-1}(Y)}$. Если взять другой относительный цикл ${\displaystyle c''}$, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий ${\displaystyle c=c''+b}$, где ${\displaystyle b}$ — относительная граница, то в силу того, что ${\displaystyle b}$ граница для относительных гомологий ${\displaystyle b=d_{k+1}x+v}$, где ${\displaystyle v\in C_{k}(Y)}$ , отсюда ${\displaystyle d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v}$, но ${\displaystyle dd=0}$, а ${\displaystyle d_{k}v}$ — граница в ${\displaystyle Z_{k-1}(Y)}$.

Поэтому класс гомологий ${\displaystyle d_{*k}c_{k}}$ определен однозначно. Ясно по линейности оператора ${\displaystyle d_{*k}}$, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

${\displaystyle i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$;

${\displaystyle j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ и

${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$;

${\displaystyle ...\to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to ...}$

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар ${\displaystyle D}$ топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Если ${\displaystyle (X,Y)\in D,}$ то ${\displaystyle (X,X)\in D,}$ ${\displaystyle (X,\varnothing )\in D,}$ ${\displaystyle (Y,Y)\in D}$ и ${\displaystyle (Y,\varnothing )\in D}$.
2. Если ${\displaystyle (X,Y)\in D}$, то и ${\displaystyle (X\times I,Y\times I)\in D}$, где ${\displaystyle I}$ — замкнутый интервал [0,1].
3. ${\displaystyle (*,\varnothing )\in D}$, где ${\displaystyle *}$ — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа ${\displaystyle H_{k}(X,Y)}$ и непрерывному отображению пар ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ соответствует гомоморфизм ${\displaystyle f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')}$ (Пространство ${\displaystyle X}$ отождествляется с парой ${\displaystyle (X,\varnothing )}$), а ${\displaystyle H_{k}(X)}$ с ${\displaystyle H_{k}(X,\varnothing )}$), причём выполняются следующие аксиомы:

1. Тождественному отображению пары ${\displaystyle id}$ соответствует тождественный гомоморфизм ${\displaystyle id_{*k}}$.
2. ${\displaystyle (gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}}$ (функториальность)
3. Определен граничный гомоморфизм ${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$, причём если ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$, то для соответствующего гомоморфизма ${\displaystyle f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k}(X',Y')}$ верно ${\displaystyle d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}}$ для любой размерности ${\displaystyle k}$.
4. Пусть ${\displaystyle i\colon Y\to X}$ и ${\displaystyle j\colon X\to (X,Y)}$ — вложения, ${\displaystyle i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}$ и ${\displaystyle j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)}$ — соответствующие гомоморфизмы, ${\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}$ — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
   ${\displaystyle \ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots }$
   точна (аксиома точности).
5. Если отображения ${\displaystyle f,g\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны ${\displaystyle f_{*k}=g_{*k}}$ для любой размерности ${\displaystyle k}$ (аксиома гомотопической инвариантности).
6. Пусть ${\displaystyle U\subset X}$ — открытое подмножество ${\displaystyle X}$, причём его замыкание содержится во внутренности множества ${\displaystyle Y}$, тогда если пары ${\displaystyle (X\setminus U,Y\setminus U)}$ и ${\displaystyle (X,Y)}$ принадлежат допустимому классу, то для любой размерности ${\displaystyle k}$ вложению ${\displaystyle (X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)}$ соответствует изоморфизм ${\displaystyle H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)}$ (аксиома вырезания).
7. Для одноточечного пространства ${\displaystyle H_{k}(*)=0}$ для всех размерностей ${\displaystyle k>0}$. Абелева группа ${\displaystyle G=H_{0}(*)}$ называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе ${\displaystyle G}$ их отображения и граничный гомоморфизм ${\displaystyle d_{*}}$ удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению ${\displaystyle f\colon (X,Y)\to (X',Y')}$ соответствует ${\displaystyle f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\to H^{k}(X,Y)}$ (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм ${\displaystyle \delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\to H^{k}(X,Y)}$ увеличивает размерность.

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей ${\displaystyle k>0}$, называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

• Гомологическая алгебра
• Гомотопия
• Фундаментальный класс
• Гомотопические группы

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297.
• Hatcher A. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400.