Сингулярные гомологии

Пусть ${\displaystyle X}$ — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности ${\displaystyle k}$ — это пара ${\displaystyle (\Delta ^{k},f)}$ где ${\displaystyle \Delta ^{k}}$ — это стандартный симплекс ${\displaystyle \langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle }$, а ${\displaystyle f}$ — его непрерывное отображение в ${\displaystyle X}$; ${\displaystyle f:\Delta ^{k}\to X}$.

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})}$ с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами ${\displaystyle z_{i}}$.

При этом для линейного отображения ${\displaystyle s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta ^{k}}$, определяемого перестановкой ${\displaystyle \pi }$ точек ${\displaystyle (a_{0},a_{1},...~a_{k})}$, полагают ${\displaystyle (\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi })}$.

Граничный оператор ${\displaystyle \partial }$ определяется на сингулярном симплексе ${\displaystyle (\Delta _{k},f)}$ так:

${\displaystyle \partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})}$,

где ${\displaystyle \Delta _{k-1}}$ стандартный ${\displaystyle (k-1)}$-мерный симплекс, а ${\displaystyle f_{i}=f\circ \epsilon _{i}}$, где ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ — это его отображение на ${\displaystyle i}$-ю грань стандартного симплекса ${\displaystyle \Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle )}$.

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что ${\displaystyle \partial \partial =0}$.

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей ${\displaystyle c_{k}}$, что ${\displaystyle \partial {c_{k}}=0}$, и границ — цепей ${\displaystyle c_{k}=\partial {c_{k+1}}}$ для некоторого ${\displaystyle c_{k+1}}$.

Факторгруппа группы циклов по группе границ ${\displaystyle H_{k}=Z_{k}/B_{k}}$ называется группой сингулярных гомологий.